Надежность экономических информационных систем. Леонтьев Е.А. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Обозначив через P
i
(t) вероятность того, что в момент времени t в системе занято i каналов (при i =
0, 1, 2, ..., n), определим полную вероятность того, что в момент времени t + ∆t в системе занято k кана-
лов:
∑
=
∆=∆
n
i
ikik
tPtPtP
1
)()()(
. (1.57)
Из-за малости приращения ∆t вероятность перехода P
ik
(∆t) является условной вероятностью пере-
хода, т.е. вероятностью того, что наступит хотя бы одно событие, переводящее систему из состояния i в
состояние k:
)(01)( ttetP
ik
t
ik
ik
∆+∆λ≅−=∆
∆λ−
. (1.58)
Вероятность P
ii
(∆t) есть вероятность того, что при нахождении системы в состоянии X
i
не наступи-
ло ни одного события, определяющего переход системы из одного состояния в любое другое:
∑
−
=
+
∆−=∆
in
k
kiiii
tPtP
1
,
)(1)(
. (1.59)
Учитывая (1.57), получим
∑
=
∆+∆λ−=∆
n
k
ikii
tttP
1
)(0)(1)(
. (1.60)
Если переходные вероятности не зависят от момента ∆t, т.е. P
ij
(∆t) = P
ij
; i, j = 0, 1, 2, ..., то
цепь Маркова называется однородной, а переходные вероятности – стационарными.
Марковские процессы, дискретные в пространстве состояний п и непрерывные во времени t
Теперь перейдем к рассмотрению процесса, переходы в которых совершаются через случайные
промежутки времени.
Случайный процесс называется марковским с конечным или счетным множеством состояний, не-
прерывным во времени, если переход системы из одного состояния в другое возможен в любой момент
времени t, а вероятность P
k
(t
0
, t
1
) перехода системы из состояния n
i
в момент t
0
в состояние n
k
в момент
t
1
> t
0
не зависит от поведения системы до момента t
0
.
Вероятность Р
j
(t) того, что система в момент t будет находиться в одном из возможных состояний j
при заданном начальном распределении вероятностей P
i
(0), i = 1, 2, ..., вычисляется по формуле
∑
=
i
ijij
tPPtP )()0()(
, j = l, 2, …, (1.61)
где P
ij
(t) удовлетворяет соотношению
∑
=+
k
kjikij
nPtPntP )()()(
,
i, j = 1, 2, ..., ;
≠
=
=
.при0
;при1
ji
ji
P
ij
(1.62)
Примерами таких марковских процессов являются многочисленные задачи теории массового об-
служивания [2].
Марковские процессы, непрерывные как в пространстве состояний п, так и во времени t
Эти процессы используются для изучения диффузионных процессов, отличительным свойством кото-
рых является изменение состояний протекания процесса на протяжении любого малого промежутка време-
ни ∆t.
В основе изучения диффузионных процессов лежат уравнения А. Н. Колмогорова, в которых
неизвестными являются переходные вероятности (для обратного уравнения) и плотность переход-
ных вероятностей (для прямого уравнения) [7].
Из всех классов случайных процессов марковские наиболее исследованы как в теоретическом от-
ношении, так и в прикладном.

Страницы