Надежность экономических информационных систем. Леонтьев Е.А. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Марковским процессом называется такой случайный процесс ξ(t), отличительное свойство кото-
рого заключается в том, что при известном значении ξ(t
1
) случайные величины ξ(t) при t > 1 не зависят
от значений ξ(U), вычисленных при любых U ≤ t
1
.
Другими словами, предполагается, что при известном настоящем будущее не зависит от прошло-
го.
С точки зрения общей теории случайных процессов марковские процессы относятся к классу слу-
чайных без последействия. Особенностью таких процессов является возможность их представления, с од-
ной стороны, в виде обобщенной математической модели системы (подсистемы) с независимо работаю-
щими элементами, а с другой – в виде моделей, позволяющих учитывать зависимость существующего
состояния системы (подсистемы) от его предшествующего состояния, что очень важно для ЭИС, в ко-
торых отказы отдельных элементов могут быть локализованы посредством применения аппаратурного,
функционального, временного, программного и других видов резервирования. Иными словами, состоя-
ние системы описывается числом ее работоспособных элементов.
В зависимости от природы пространства состояний n и временного параметра t марковские процес-
сы классифицируются следующим образом.
Марковские процессы, дискретные в пространстве состояний п и во времени t.
В таких процессах переходы из одного состояния в другое совершаются через дискретные, равные
друг другу промежутки времени.
Пусть некоторая сложная физическая система в каждый момент времени может находиться в одном
из n состояний А
0
, A
1
, A
2
, ..., A
n
и переходить в другое состояние в некоторые моменты времени t
0
,
t
1
, t
2
, ..., t
n
. Тогда протекающий в ней процесс переходов будет марковским (без последействия), для
которого будущее развитие системы зависит только от ее состояния в настоящий момент t
0
и не зависит
от того, каким образом и когда система пришла в это состояние.
Заметим, что предположение о марковском характере переходов в ЭИС является абстрактным. Од-
нако есть, по крайней мере, два существенных обстоятельства для обоснования этого предположения.
Во-первых, процесс обслуживания осуществляется только в случае простейшего потока требований.
Во-вторых, время выполнения операций по обслуживанию подчиняется показательному закону распре-
деления.
Следует иметь в виду, что процессы, происходящие в системе, можно рассматривать как процессы с
дискретными состояниями, если имеется счетное (конечное) множество возможных состояний {Х
i
}этой
системы и переход из одного состояния в другое осуществляется скачком. Образующаяся при этом по-
следовательность прерывных случайных величин, не обладающих свойством последействия, будет на-
зываться простой цепью Маркова.
В качестве примера марковского процесса, дискретного в пространстве состояний и во времени,
рассмотрим модель функционирования вычислительной системы в ЭИС, состоящей из двух вычисли-
тельных комплексов ЭВМ, включенных по схеме дублирования с кратностью единица. Причем обе ма-
шины включены, но для решения задач используется только одна. Ремонт производится сразу же после
возникновения отказа любой из ЭВМ. Профилактическое обслуживание осуществляется после t часов
наработки при условии, что одна из ЭВМ находится в рабочем состоянии, а вторая – в состоянии резер-
ва. При ремонте или профилактическом обслуживании одной машины отказ другой приводит к отказу
всей системы.
Предположим, что процесс перехода системы из состояния в состояние может быть описан марков-
ским процессом. Для рассматриваемой вычислительной системы важными характеристиками, кото-
рые можно определить из математической модели, являются среднее время простоя системы, рас-
пределение времени простоя, режим рационального обслуживания системы и т.д.
Графическая модель возможных состояний и переходов такой системы представлена на рис. 1.8.
Здесь состояния системы изображены кружками и обозначены цифрами от 0 до 8, возможные переходы
–стрелками. Рассматриваются девять возможных состояний. Например, если система находится в со-
стоянии 0, то это означает, что первая ЭВМ используется в качестве основной для решения задач, в то
время как вторая ЭВМ находится в резерве. Если в течение времени t, измеряемого с момента перехода
системы в данное состояние, не произошло ни одного отказа, то производится профилактическое об-
служивание первой ЭВМ и система попадает в состояние 1. Интерпретируя аналогично состояния 2, 3 и

Страницы