Надежность функционирования автоматизированных систем. Липатов И.Н. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

-39-
()
()
[
]
tc c
m
mP
tdt
e
dt
t
=
∫
=−−
∫
∞
+
∞
−
0
1
0
11
λ
.
Введём новую переменную x вида
x
e
t
=−
−
1
λ
;
−
=−
λt
e
x1;
λt
e
x
=
−
1
1
;
λt
x
=
−
ln ;
1
1
t
x
=
−
11
1λ
ln ;
()
dt
dx
x
=
−λ 1
;
Если t = 0, то x = 0;
Если t = ∞, то x = 1;
В результате получим
tc
m
m
x
x
dx=
−
−
∫
+
11
1
1
0
1
λ
Запишем формулу для определения суммы n членов геометрической прогрессии
(
)
nn
n
Saa a
a
q
q
=++ +=
−
−
12
1
1
1
......... ;
где
1
a
- первый член суммы;
n
a
- n - ый член суммы; q - знаменатель прогрессии;
ii
a
q
a
=
−1
, ( in= 2, );
n
n
aa
q
=
−
1
1
.
Выражение
1
1
1
−
−
−m
x
x
;
есть сумма n членов геометрической прогрессии, где q = x; n = m + 1;
1
1
a
= ;
n
n
ax
= .
Следовательно
1
1
1
1
21
−
−
=++ + + +
+
−
m
mm
x
x
x
xxx
........ ,
()
tc
m
m
m
x
xx
dx x
xx x
mm
=+++
∫
=+++
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=+++
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
1
1
1
23 1
1
1
1
2
1
3
1
1
2
0
1
23 1
0
1
λλ λ
........ .......... .......... .
tc
i
m
m
i
=
+
∑
=
11
1
0
λ
tc tHc
i
m
mm
j
=
+
∑
=
1
1
0
,
tHc
m
=
1
λ
;
где
tHc
m
- среднее время безотказной работы нерезервированной системы. Введём
обозначение
α=
tc
tHc
m
m
;
Для разных значений m имеем
m = 0; α = 1;
m = 1; α = 1,5;
m = 2; α = 1,83.
Результаты сведём в таблицу
m α m α 
                                                       -39-

                                                             [               ]dt .
                                          ∞             ∞
                                   mtc = ∫ Pc ( t)dt = ∫ 1 − (1− e−λt)
                                                                           m+1

                                          0              0

  Введём новую переменную x вида                 x = 1 − e− λt ;
                                                          1                     1
                                  e− λt = 1 − x; eλt =           ; λt = ln          ;
                                                        1− x                   1− x
                                          1     1                    dx
                                    t = ln         ;     dt =                ;
                                         λ 1− x                   λ (1 − x )
      Если t = 0, то x = 0;
      Если t = ∞, то x = 1;
      В результате получим
                                                     1 1 1 − x m +1
                                              mtc = ∫              dx
                                                     λ 0 1− x
Запишем формулу для определения суммы n членов геометрической прогрессии
                                                                       (
                                                                       a1 1 − q  )n

                                      Sn = a1 + a 2 +.........+ a n =               ;
                                                                          1− q
где a1 - первый член суммы; a n - n - ый член суммы; q - знаменатель прогрессии;
                                                                           n −1
                             a i = q a i −1 , ( i = 2, n );      a n = a1 q .
             Выражение
                                                   1 − x m−1
                                                             ;
                                                     1− x
есть сумма n членов геометрической прогрессии, где q = x; n = m + 1; a1 = 1; a n = x n .
  Следовательно
                            1 − x m +1
                                         = 1 + x + x2 +........+ x m−1 + x m ,
                               1− x
         1 1                                1⎛     x2 x3                x m +1 ⎞ 1 1 ⎛ 1 1             1 ⎞
  mtc = ∫ (1 + x + x +........ x )dx = ⎜ x + + +..........
                    2            m
                                                                               ⎟ = ⎜1 + + +..........      ⎟.
        λ0                                 λ⎝       2 3                m + 1⎠ 0 λ ⎝ 2 3               m + 1⎠




                                                      1 m 1
                                              mtc =     ∑
                                                      λ i=0 1 + i

                                      1       m             1
                                 mtc = mtHc ∑
                                          ,        m tH c =   ;
                                i=0 1 + j                   λ
 где mtHc - среднее время безотказной работы нерезервированной системы. Введём
обозначение
                                            m tc
                                    α=           ;
                                           m tHc
 Для разных значений m имеем
                                   m = 0; α = 1;
                                 m = 1; α = 1,5;
                                m = 2; α = 1,83.
 Результаты сведём в таблицу

                      m                   α                      m                   α

Страницы