Надежность функционирования автоматизированных систем. Липатов И.Н. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

-53-
(
)
( ) () () ( )
[]
()
d
P
t
dt
n
P
t
P
tn
P
t
2
13 2
12=− + −+−λμ μ λ
……………………………………….
()
() ()
d
P
t
dt
P
t
P
t
n
nn
=−
−
λμ
1
где
()
i
P
t- вероятность нахождения системы в момент времени t в состоянии
i
S
, i = 0,1…, n
В установившемся режиме имеем:
(
)
ii
P
t
P
const
=
=
;
(
)
d
P
t
dt
i
= 0 ;
В результате получим систему алгебраических уравнений вида:
0
01
=−
+
n
PP
λ
μ
(
)
[
]
01
02 1
=+−+−n
PP
n
P
λμ μ λ
()
(
)
[
]
01 2
13 2
=− + −+−n
PP
n
P
λμ μ λ
…………………………………………
0
1
=
−
−
λ
μ
nn
PP
Из системы алгебраических уравнений имеем:
10
P
n
P
=
λ
μ
(
)
(
)
21
2
2
0
11
P
n
P
nn
P
=
−
=
−λ
μ
λ
μ
……………………………….
(
)
(
)
n
n
n
P
nn n
P
=
−−12 1
0
........
λ
μ
Для вероятностей состояний справедливо следующее соотношение
012
1
PPP P
n
+
+
+
+
=
........... ;
Определим
0
P
. Имеем:
()
()
00
2
2
00
1
11 1
P
n
P
nn
P
nn
P
n
++
−
++−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
λ
μ
λ
μ
λ
μ
.......... .........
.
() ()
0
2
1
11 11
P
nnn nn
n
=
++−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
λ
μ
λ
μ
λ
μ
......... ..........
;
или
()
0
0
1
P
n
ni
i
n
i
=
−
∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
!
!
;
λ
μ
Отсюда
()
Π
kP
n
n
ni
n
n
i
n
i
==
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
!
!
!
;
λ
μ
λ
μ
1
0
Коэфициент готовности: 
                                                     -53-
                       d P2 ( t )
                                  = ( n − 1) λ P1 ( t ) + μ P3 ( t ) − [μ + ( n − 2) λ ] P2 ( t )
                          dt
                                  ……………………………………….
                                       d Pn ( t )
                                                  = λ P n −1 ( t ) − μ P n ( t )
                                          dt
где Pi ( t ) - вероятность нахождения системы в момент времени t в состоянии Si , i = 0,1…, n
  В установившемся режиме имеем:
                                              Pi ( t ) = Pi = const ;
                                                       d Pi ( t )
                                                                  = 0;
                                                          dt
  В результате получим систему алгебраических уравнений вида:
                                       0 = − nλ P0 + μ P1
                                  0 = nλ P0 + μ P2 − [μ + ( n − 1) λ ] P1
                                  0 = ( n − 1) λ P1 + μ P3 − [μ + ( n − 2) λ ] P2
                                  …………………………………………
                                  0 = λ P n −1 − μ P n

 Из системы алгебраических уравнений имеем:
                                          nλ
                                     P1 =    P0
                                          μ
                                            ( n − 1) λ    n( n − 1) λ 2
                                     P2 =                P1 =            P0
                                              μ                μ2
                                     ……………………………….
                                          n( n − 1)( n − 2)........1 λ n
                                     Pn =                                P0
                                                       μn

 Для вероятностей состояний справедливо следующее соотношение
                               P0 + P1 + P2 +...........+ P n = 1 ;
 Определим P0 . Имеем:

                               n( n − 1) λ 2
                                                                                                 n
                       nλ                                                       ⎛ λ⎞
                  P0 +    P0 +               P0 +..........+ n( n − 1).........1⎜ ⎟ P0 = 1 .
                        μ           μ 2
                                                                                ⎝ μ⎠
                                                           1
                    P0 =                             2                                  n ;
                              λ              ⎛ λ⎞                                  ⎛ λ⎞
                         1 + n + n( n − 1) ⎜ ⎟ +.........+ n( n − 1)..........1⎜ ⎟
                              μ              ⎝ μ⎠                                  ⎝ μ⎠
                                                            1
                 или                     P0 =                          i;
                                                  n       n! ⎛ λ ⎞
                                                ∑                ⎜ ⎟
                                                i = 0 ( n − i) ! ⎝ μ ⎠


                                                            n
                                                 ⎛ λ⎞                     1
 Отсюда                             k Π = Pn = n!⎜ ⎟                                         ;
                                                 ⎝ μ⎠            n        n! ⎛ λ ⎞
                                                                                         i

                                                                ∑                ⎜ ⎟
                                                                i = 0 ( n − i) ! ⎝ μ ⎠



 Коэфициент готовности:

Страницы