Надежность функционирования автоматизированных систем. Липатов И.Н. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

-52-
Определим
()
1
P
t. Имеем:
() ()
()
10
1
P
t
P
t
e
t
=− =
+
−
+
−+
λ
λμ
λ
λμ
λμ
;
Таким образом:
() ()
()
Π
k
t
P
t
e
t
==
+
−
+
−+
1
λ
λμ
λ
λμ
λμ
;
При длительной эксплуатации, т.е. при t → ∞ имеем:
Γ
k
=
+
μ
λμ
,
Π
k
=
+
λ
λμ
;
где
Γ
k
- коэфициент готовности системы
,
Π
k
- коэфициент простоя системы
.
Учитывая, что
0
1
T
=
λ
,
B
T
=
1
μ
.
где
0
T
- среднее время безотказной работы системы;
B
T
- среднее время восстановления (ремонта) системы,
имеем
λ=
1
0
T
; μ=
1
B
T
;
Γ
k
T
TT
T
TT
B
B
B
=
+
=
+
1
11
0
0
0
,
Π
k
T
TT
B
B
=
+
0
;
Таким образом, коэфициент готовности
характеризует долю времени, в течении которого
система работоспособна. Коэффициент простоя
характеризует долю времени, в течении
которого система ремонтируется.
Определим коэффициент готовности и коэффициент простоя системы, содержащей
основной
и n - 1 резервных элементов, находящихся в нагруженном режиме. Отказавшие
элементы образуют очередь на ремонт, который осуществляется одной бригадой с
интенсивностью μ. Интенсивность отказа любого элемента равна λ.
Введём в рассмотрение состояния
0
S
,
1
S
, ……….,
n
S
:
0
S
- работоспособны все n элементов
1
S
- отказал один элемент, остальные работоспособны
2
S
- отказали два элемента, остальные исправны
i
S
- отказали i элементов, остальные исправны
…………………………………………………….
n
S
- отказала вся система, т.е. отказали все n элементов.
Построим граф состояния системы.
nλ (n - 1)λ (n - 2)λ (n + 1 - i )λ (n - i )λ λ
0
S
1
S
2
S
i
S
n
S
μ μ μ μ μ μ
Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Имеем:
()
() ()
d
P
t
dt
n
P
t
P
t
0
01
=− +λμ
()
() () ( )
[]
()
d
P
t
dt
n
P
t
P
tn
P
t
1
02 1
1=+−+−λμ μ λ 
                                                          -52-
                                                              λ   λ − (λ + μ )t
 Определим P1 ( t ) . Имеем: P1 ( t) = 1 − P0 ( t) =            −    e          ;
                                                             λ+μ λ+μ
 Таким образом:
                                                   λ         λ
                                   k Π (t) = P1 (t) =   −       e − ( λ + μ) t ;
                                                λ+μ λ+μ
  При длительной эксплуатации, т.е. при t → ∞ имеем:
                                            μ                  λ
                                    kΓ =        ,     kΠ =           ;
                                          λ+μ                 λ+μ
           где k Γ - коэфициент готовности системы, k Π - коэфициент простоя системы.
  Учитывая, что
                                          1                1
                                    T0 = ,          TB = .
                                          λ                μ
  где T0 - среднее время безотказной работы системы;
       TB - среднее время восстановления (ремонта) системы,
       имеем
                                             1            1
                                       λ=      ; μ=          ;
                                            T0            TB
                                     1
                                    TB          T0                       TB
                            kΓ =           =          ,      kΠ =                ;
                                  1     1     T0 + TB              T0 + T B
                                     +
                                 T0 TB
  Таким образом, коэфициент готовности характеризует долю времени, в течении которого
система работоспособна. Коэффициент простоя характеризует долю времени, в течении
которого система ремонтируется.
  Определим коэффициент готовности и коэффициент простоя системы, содержащей
основной и n - 1 резервных элементов, находящихся в нагруженном режиме. Отказавшие
элементы образуют очередь на ремонт, который осуществляется одной бригадой с
интенсивностью μ. Интенсивность отказа любого элемента равна λ.
  Введём в рассмотрение состояния S0 , S1 , ………., Sn :
  S0 - работоспособны все n элементов
  S1 - отказал один элемент, остальные работоспособны
  S2 - отказали два элемента, остальные исправны
  Si - отказали i элементов, остальные исправны
  …………………………………………………….
  Sn - отказала вся система, т.е. отказали все n элементов.
  Построим граф состояния системы.

           nλ            (n - 1)λ        (n - 2)λ         (n + 1 - i )λ        (n - i )λ     λ

    S0             S1                  S2                                 Si                     Sn
            μ                μ                   μ                 μ                  μ      μ

 Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Имеем:

                                     d P0 ( t )
                                                = − nλ P0 ( t ) + μ P1 ( t )
                                       dt
                        d P1 ( t )
                                   = nλ P0 ( t ) + μ P2 ( t ) − [μ + ( n − 1) λ ] P1 ( t )
                          dt

Страницы