Надежность функционирования автоматизированных систем. Липатов И.Н. - 52 стр.

                                                               -51-
               S0 - состояние работоспособности,
               S1 - состояние отказа (ремонта),
               P0 ( t ) - вероятность нахождения системы в состоянии S0 ,
               P1 ( t ) - вероятность нахождения системы в состоянии S1 .
 Граф состояний имеет вид.
                                            λ

                                            S0                 μ                 S1

 Требуется определить функцию готовности k Γ ( t )               и функцию простоя                                                 kΠ ( t)
нерезервированной восстанавливаемой системы.
 Функция готовности совпадает с вероятностью работоспособного состояния , т.е.
                                          k Γ ( t ) = P0 ( t ) .
 Функция простоя совпадает с вероятностью отказа, т.е.
                                          k Π ( t ) = P1 ( t ) .
 Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Имеем
                          d P0 ( t )
                                     = − λ P0 ( t ) + μ P1 ( t )
                            dt
                          d P1 ( t )
                                     = λ P0 ( t ) − μ P1 ( t )     (2.1)
                            dt

   Предположим, что при t = 0 система находилась в работоспособном состоянии , т.е.
                                    P0 ( 0) = 1;
                                            P1 ( 0) = 0;
  Для любого момента времени t имеем
                                         P0 ( t ) + P1 ( t ) = 1             (2.2)
  Из двух уравнений (2.1) одно является лишним, т.к. P0 t и P1 ( t ) связаны соотношением
                                                                         ( )
(2.2). Учитывая это, отбросим второе уравнение, а в первое уравнение вместо P1 ( t )
подставим 1 - P0 ( t ) . Имеем:
                                d P 0 ( t)
                                           = −λ P0 ( t) + μ[1 − P0 ( t)]
                                  dt
                                d P0 ( t )
              или                          = −( λ + μ ) P 0 ( t ) + μ           (2.3)
                                   dt
  Будем искать решение уравнения при ненулевых начальных условиях.
  Запишем решение уравнения (2.3). Имеем:
                                                                          t
                                 P 0 ( t) = e − (λ + μ )t P 0 (0) + ∫ e − (λ + μ )(t − τ)μ d τ
                                                                          0
                                                          t                                                      1 ( λ +μ )τ t
       или     P0 ( t ) = e−( λ + μ ) t + μ e−( λ + μ ) t ∫ e( λ + μ ) τ dτ = e−( λ + μ ) t + μ e−( λ + μ ) t       e          =
                                                          0                                                     λ+μ          0

                                                   ⎡ 1 (λ+μ )t     1 ⎤    μ     λ
                 = e−( λ + μ ) t + μ e−( λ + μ ) t ⎢      e    −      ⎥ =    +      e− ( λ + μ ) t ;
                                                   ⎣λ + μ        λ + μ⎦ λ + μ λ + μ
 Таким образом
                                                               μ   λ −( λ + μ ) t
                                   kΓ ( t ) = P0 ( t ) =         +    e
                                                              λ+μ λ+μ