Получение оптимальных проектных решений и их анализ с использованием математических моделей. Литовка Ю.В. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

правления антиградиента, т.е.
h
0
=
h
minarg f
0
(X
0
+ hS
0
).
Для поиска значения h
0
допускается использовать любой из методов одномерной минимизации. Для лока-
лизации отрезка, содержащего значение
h
0
, следует использовать процедуру, рассмотренную в лабораторной
работе 2.2.
Для произвольных
k-й итерации и функции n переменных следующее приближение Х
k+1
к точке минимума
Х вычисляется как
;)(minarg,...,,1,
0
1 kk
h
k
k
ik
k
i
k
i
hSXfhnishxx +==+=
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−=−∇=
n
kkk
kk
x
Xf
x
Xf
x
Xf
XfS
)(
...,,
)(
,
)(
)(
0
2
0
1
0
0
.
Поиск заканчивается при выполнении условия
∑
=
ε≤
∂
∂
n
i
i
k
x
Xf
1
2
0
,
)(
(2.3)
где ε – заранее заданное положительное число.
РИС. 2.11. МЕТОД НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА
Для приближенного вычисления частных производных целевой функции f
0
(Х) по переменным х
i
, i = 1, ...,
n, в точке Х
k
используется разностная схема:
x
xxxfxxxxxf
x
Xf
nni
i
k
∆
−∆+
=
∂
∂ )...,,,()...,,...,,,()(
2102100
,
где x∆ – малое приращение по переменным х
i
, i = 1, ..., n.
Геометрическая иллюстрация работы метода наискорейшего спуска приведена на рис. 2.11.
Метод сопряженных градиентов. Функция n переменных, приводимая к виду
∑∑ ∑
== =
++=
n
i
n
j
n
i
iijiij
cxbxxaXf
11 1
0
2
1
)(
, (2.4)
называется квадратичной функцией. В векторной форме записи функцию
f
0
(X) можно представить в виде
f
0
(X) =
,c
2
1
++
TT
BXXAX
где
Х = (х
1
, x
2
, ..., х
n
) – вектор-строка;
T
X
– вектор-столбец; T – символ транспонирования; A = (a
ij
), i, j = 1, ..., n –
симметричная матрица размера
n × n; B = (b
i
), i = 1, …, n – постоянный вектор размера n; с – константа.
Для квадратичных функций
....,,1,,
;...,,1,
0
2
1
0
njia
xx
f
nibxa
x
f
ij
ji
n
j
ijij
i
==
∂∂
∂
=+=
∂
∂
∑
=
Идея метода сопряженных градиентов основана на стремлении минимизировать квадратичную функцию
за конечное число шагов. Для этого требуется найти направления
S
0
, S
1
, …, S
n–1
такие, что последовательность n
одномерных минимизаций вдоль этих направлений приводит к отысканию минимума функции (2.5) при любом
начальном приближении
X
0
.
Указанным свойством обладает система взаимно сопряженных относительно матрицы вторых производ-
ных
А векторов. Два вектора S
k
и S
k+1
называются сопряженными (относительно матрицы A), eсли они отличны
х
1
х
2
Х
2
Х
0
Х
1
Х

Страницы