Математика. Литвиненко О.Д. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

2 Образец решения задач
∫
+∞
+
0
2
1 x
dx
Задача 1. Исследовать сходимость:
Решение: По определению .
lim
+∞
=
∫
dx
∫
b
2
)(
1
lim
0
2
π
==
+
+∞→
barctg
x
dx
b
0
2
1
+∞→
+
b
x
Так что интеграл сходится и равен .
∫
1 x
dx
2
π
+∞
+
0
2
Задача 2. Найти неопределенные интегралы:
a)
∫
+
3
4
3
1x
dxx
Решение: Сделаем замену переменной
, тогда dz zx =+1
4
dxx
3
4=
Поэтому ,
ccz
z
++====
∫∫∫
3
32
3
3
3
(
8844
xzdz
dz
x
dxx
+
+
−
24
1
4
3
)1
3311
1
где c = const.
б)
dxx
x
2
2
∫
Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям
∫
∫
−= vduuvudv
Здесь
1
),arcsin(
+
==
x
dx
dvxu ,
откуда находим
12
1
,
1
2
+=
+
=
−
=
∫
x
x
dx
v
x
dx
du
Применяя вышеуказанную формулу, получим
dx
dx
cxxx +++= 1412
x
xx
x
xxxdxx
x
−
=
−
−+=
−
+−+=
∫∫∫
)arcsin(
1
2)arcsin(12
1
12)arcsin(122
2
2
где c = const. 
             2 Образец решения задач
                                                                             +∞
                                                                                      dx
Задача 1. Исследовать сходимость:                                                ∫ 1+ x
                                                                                 0
                                                                                           2




                                                 +∞
Решение: По определению ∫ dx 2 = lim ∫ dx. 2 = lim arctg (b) = π
                                                                             b


                         1+ x    b → +∞ 0 1 + x b → +∞
                                                  0
                                                               2

                                                      +∞
                                                           dx                                        π
                          Так что интеграл            ∫1+ x
                                                      0
                                                                2    сходится и равен
                                                                                                     2
                                                                                                          .



Задача 2. Найти неопределенные интегралы:

a)           x 3dx
     ∫   3
             x4 + 1

Решение: Сделаем замену переменной x 4 + 1 = z , тогда dz = 4 x 3 dx
                                         1
                    x 3 dx  1 dz 1 − 3           3            3
         Поэтому ∫ 3 4     = ∫ 3 = ∫ z dz = 3 z 2 + c = 3 ( x 4 + 1) 2 + c,
                    x +1 4      z 4              8            8
                            где c = const.

б)   ∫x
             2
                 2 x dx


Решение: Воспользуемся формулой интегрирования по частям ∫ udv = uv − ∫ vdu
                                                                dx
                          Здесь u = arcsin( x), dv =                     ,
                                                                x +1
                                                                dx                    dx
                          откуда находим du =                            ,v = ∫                = 2 x +1
                                                            1− x     2
                                                                                      x +1
                          Применяя вышеуказанную формулу, получим
                                                                                 dx                                  dx
             ∫x         2 x dx = 2 x + 1 arcsin( x ) − 2 ∫ x + 1                       = 2 x + 1 arcsin( x ) − 2 ∫          =
                    2

                                                                             1− x2                                   1− x
             = 2 x + 1 arcsin( x ) + 4 1 − x + c
                  где c = const.

Страницы