Математика. Литвиненко О.Д. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

в)
∫
x
dx
sin
Решение: Применяем подстановку
t
x
tg =)
2
( , откуда
22
1
2
,
1
2
)
t
dx
t
t
xsin(
+
=
+
= .
Поэтому
c
x
tgct
t
dt
x
dx
+=+==
∫∫
)
2
(lnln
sin
, где c = const.
Задача 3. Вычислить определенные интегралы
dxxxx
∫
+−−
1
0
43
12)12(
а)
Решение: Сделаем замену
t . В данном случае выражать x через t,
т.е. находить функцию
12
4
+−= xx
)(tx
ϕ
= не нужно! Дифференцируя это равенство,
получим
, откуда dxxdt )24(
3
−=
( .)12
2
1
3
=− dxx
Поэтому будем иметь
(
∫
3
1
3
1
0
2
1
2
1
12)12
2
3
2
3
0
1
1
0
43
−=−===+−−
∫
t
dttdxxxx
б)
xdx(
∫
−
π
x sin)
0
π
Решение: Воспользуемся формулой
∫∫
−=
b
a
b
a
vduuvudv
В данном интеграле
u ,sin, xdxdvx
=
−
=
π
тогда , xvdxdu cos, −=−=
поэтому .
∫∫
=−−−=−
πππ
cos( xdxxxdx
ππ
00
cos)(sin) xx
Задача 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
2,1
2
=−= xxy
и осями Ox и Oy.
Решение: Воспользуемся тем, что если функция f(x) меняет свой знак при
переходе x через точку
c , т.е. часть криволинейной трапеции abBA
расположена над осью Ox, а другая часть под осью Ox, то площадь всей
фигуры будет равна сумме двух площадей (рис.1)
),( ba∈
=+= QQQ
∫∫
+
c
a
b
c
f(x)dxf(x)dx
21
или
c b
Рисунок 1-Площадь фигуры Q
∫∫
=Q −
a c
dxxfdxxf )()(
              dx
в)     ∫ sin x
                                                           x                                2t             2
Решение: Применяем подстановку tg ( ) = t , откуда sin( x) =                                      , dx =       .
                                                           2                               1+ t 2
                                                                                                         1+ t2
                                 dx        dt                     x
                   Поэтому   ∫ sin x = ∫   t
                                              = ln t + c = ln tg ( ) + c , где c = const.
                                                                  2

Задача 3. Вычислить определенные интегралы
      1
а)
      ∫ (2 x       − 1) x 4 − 2 x + 1dx
               3

      0


Решение: Сделаем замену t = x 4 − 2 x + 1 . В данном случае выражать x через t,
т.е. находить функцию x = ϕ (t ) не нужно! Дифференцируя это равенство,
получим dt = (4 x 3 − 2)dx , откуда
                                  ( 2 x 3 − 1) dx = 12 .
                                                                                 3
                                      1                             0
                                                                   1           1 t2       1     1
                                      ∫0 (2 x − 1) x − 2 x + 1dx = 2 ∫1 t dt = 2 32 = 0 − 3 = − 3
                                           3       4
Поэтому будем иметь

б)        π

          ∫ (π −x) sin xdx
          0
                                                               b                 b

Решение: Воспользуемся формулой                                ∫ udv = uv − ∫ vdu
                                                               a                 a

                   В данном интеграле u = π − x, dv = sin xdx, тогда du = −dx, v = − cos x ,
                                 π                                          π
                   поэтому       ∫ (π −x) sin xdx = −(π − x) cos x − ∫ cos xdx = π
                                 0                                          0
                                                                                               .


Задача 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1 − x 2 , x = 2
и осями Ox и Oy.

Решение: Воспользуемся тем, что если функция f(x) меняет свой знак при
переходе x через точку c ∈ (a, b) , т.е. часть криволинейной трапеции abBA
расположена над осью Ox, а другая часть под осью Ox, то площадь всей
фигуры будет равна сумме двух площадей (рис.1)
                             c                 b
          Q = Q1 + Q2 = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx
                             a                 c

или
                     c                b
              Q = ∫ f ( x) dx − ∫ f ( x)dx                              Рисунок 1-Площадь фигуры Q
                     a                c

Страницы