ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
1. Скалярное поле.
1.1. Скалярное поле, производная по направлению, градиент.
Все физические процессы, проходящие в любой области пространст-
ва, характеризуются определёнными значениями некоторых величин. Так,
нагревание тела описывается изменением температуры в точках этого тела;
загнивание экономического региона характеризуется количеством оста-
новленных в нём предприятий и т.д. Если каждой точке М некоторой об-
ласти
V пространства соответствует значение некоторой скалярной вели-
чины u(M), то говорят, что в области V задано скалярное поле u(M). Поле
называется стационарным, если оно не меняется во времени; мы будем
изучать только стационарные поля.
Формально определение скалярного поля совпадает с определением
функции u(M), заданной в области V; это верно и
по существу, однако при
изучении теории поля полезно иметь в виду, что функция u(M) описывает
конкретную физическую реальность. Для изучения функциональной зави-
симости u(M) нам придётся ввести некоторую систему координат. Вид
функции u(M) (её аналитическое выражение) меняется в зависимости от
того, как введена координатная система (где расположено начало системы
координат, куда
направлены оси, каков масштаб измерения расстояний и
т.д.), однако сущность, которую описывают эти разные выражения, одна и
та же. Произвол в задании системы координат приводит к необходимости
различать величины, не зависящие от конкретной системы (инвариантные
относительно системы координат), и величины, принимающие разные зна-
чения в разных системах (неинвариантные величины).
Основной инвари-
антной величиной является, конечно, само значение u(M) поля в точке М.
Мы будем называть поле u(M) гладким, если функция u(M) имеет непре-
рывные частные производные
)(),(),( M
z
u
M
y
u
M
x
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
. Значения этих
производных в точке М зависят от системы координат, однако составлен-
1. Скалярное поле.
1.1. Скалярное поле, производная по направлению, градиент.
Все физические процессы, проходящие в любой области пространст-
ва, характеризуются определёнными значениями некоторых величин. Так,
нагревание тела описывается изменением температуры в точках этого тела;
загнивание экономического региона характеризуется количеством оста-
новленных в нём предприятий и т.д. Если каждой точке М некоторой об-
ласти V пространства соответствует значение некоторой скалярной вели-
чины u(M), то говорят, что в области V задано скалярное поле u(M). Поле
называется стационарным, если оно не меняется во времени; мы будем
изучать только стационарные поля.
Формально определение скалярного поля совпадает с определением
функции u(M), заданной в области V; это верно и по существу, однако при
изучении теории поля полезно иметь в виду, что функция u(M) описывает
конкретную физическую реальность. Для изучения функциональной зави-
симости u(M) нам придётся ввести некоторую систему координат. Вид
функции u(M) (её аналитическое выражение) меняется в зависимости от
того, как введена координатная система (где расположено начало системы
координат, куда направлены оси, каков масштаб измерения расстояний и
т.д.), однако сущность, которую описывают эти разные выражения, одна и
та же. Произвол в задании системы координат приводит к необходимости
различать величины, не зависящие от конкретной системы (инвариантные
относительно системы координат), и величины, принимающие разные зна-
чения в разных системах (неинвариантные величины). Основной инвари-
антной величиной является, конечно, само значение u(M) поля в точке М.
Мы будем называть поле u(M) гладким, если функция u(M) имеет непре-
∂u ∂u ∂u
рывные частные производные ( M ), ( M ), ( M ) . Значения этих
∂x ∂y ∂z
производных в точке М зависят от системы координат, однако составлен-
3
