Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

4
ная с их помощью линейная комбинация базисных ортов системы
k
z
u
j
y
u
i
x
u
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
образует градиент поля u(M) и инвариантна относитель-
но системы координат. Вектор
)(gra
d
M
u направлен в сторону роста зна-
чений поля
u(M) по направлению наибольшей скорости роста; длина
)(gra
d
M
u равна скорости роста в этом направлении. Инвариантна
относительно системы координат производная по-
ля в точке М по любому направлению
l , выходя-
щему из этой точки, так как она характеризует ско-
рость изменения поля в направлении
l . Формально
производная по направлению определяется как
1
1
вдоль
)()(
lim
1
MM
MuMu
l
u
l
MM
−
=
∂
∂
→
, где ||
11
→
±= MMMM в
зависимости от того, имеют ли ось
l и вектор
→
1
M
M
одинаковые или про-
тивоположные направления. Производная по направлению выражается че-
рез градиент формулой:
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅=
∂
∂
γβα
cos)(cos)(cos)()(grad)(
0
M
z
u
M
y
u
M
x
u
lMuM
l
u
()
)(gradпр Mu
l
= , где
{
}
γβα
cos,cos,cos
0
l - орт направления l ,
γ
β
α
cos,cos,cos - направляющие косинусы этого направления.
В дальнейшем для обозначения градиента мы часто будем применять
введённый Гамильтоном оператор
("набла"). Этот вектор-оператор оп-
ределяется как
k
x
j
y
i
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
. Если формальное произведение
)(Mu
x
⋅
∂
∂
понимать как )(M
x
u
∂
∂
, то uk
z
u
j
y
u
i
x
u
u ∇=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=grad , т.е.
произведение вектора набла на скаляр u(M) даёт значение градиента поля u
в точке M.
Градиент поля имеет следующие дифференциальные свойства 
ная с их помощью линейная комбинация базисных ортов системы
∂u    ∂u    ∂u
   i+    j + k образует градиент поля u(M) и инвариантна относитель-
∂x    ∂y    ∂z
но системы координат. Вектор grad u ( M ) направлен в сторону роста зна-
чений поля u(M) по направлению наибольшей скорости роста; длина
grad u ( M ) равна скорости роста в этом направлении. Инвариантна
относительно системы координат производная по-
ля в точке М по любому направлению l , выходя-
щему из этой точки, так как она характеризует ско-
рость изменения поля в направлении l . Формально
производная по направлению определяется как
∂u       u(M 1 ) − u(M )                 →
   = lim                 , где MM = ± | MM 1 |
                                 1
                                                                    в
∂l M →M
      1
             MM    1
       вдоль l

                                                                    →
зависимости от того, имеют ли ось l и вектор MM 1 одинаковые или про-
тивоположные направления. Производная по направлению выражается че-
рез градиент формулой:
∂u                            ∂u           ∂u            ∂u
   ( M ) = grad u ( M ) ⋅ l0 = ( M ) cosα + ( M ) cos β + ( M ) cos γ =
∂l                            ∂x           ∂y            ∂z
= пр l (grad u ( M ) ) ,   где   l 0 {cos α , cos β , cos γ }   -       орт   направления   l,

cos α , cos β , cos γ - направляющие косинусы этого направления.
        В дальнейшем для обозначения градиента мы часто будем применять
введённый Гамильтоном оператор ∇ ("набла"). Этот вектор-оператор оп-
                             ∂     ∂     ∂
ределяется как ∇ =              i+    j + k . Если формальное произведение
                             ∂x    ∂y    ∂x
∂                        ∂u                   ∂u   ∂u    ∂u
   ⋅ u (M ) понимать как    (M ) , то grad u = i +    j + k = ∇u , т.е.
∂x                       ∂x                   ∂x   ∂y    ∂z
произведение вектора набла на скаляр u(M) даёт значение градиента поля u
в точке M.
        Градиент поля имеет следующие дифференциальные свойства

                                                     4

Страницы