Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 6 стр.

одинаково во всех плоскостях, параллельных
плоскости П. Удачным выбором координат-
ной системы в этом случае будет ввести её
так, чтобы плоскость П была плоскостью
Оху. Тогда ось Оz будет перпендикулярна П,
и, по определению плоского поля, функция u(M) не должна зависеть от z,
т.е. u(M) = u(х,у). Поверхности уровня этого поля - цилиндрические по-
верхности с образующими, перпендикулярными плоскости П; след этих
поверхностей в плоскости П дает линии уровня функции u(х,у).
         Скалярное поле называется цилиндрическим, если существует такая
прямая L, что значения поля u(M) зависят только от расстояния r от точки
М до прямой L. Если система координат введена так, что эта прямая - ось

Оz, то r = x 2 + y 2 и u(M)= u(r), т.е. цилиндрическое поле - частный слу-

                                                ∂r       x           ∂r       y
чай      плоского     поля.      Так    как        =             ,      =              ,   то
                                                ∂x     x2 + y2       ∂y     x2 + y2
            xi + yj       r                        r
grad r =              =     , grad u (r ) = u ′(r ) . Понятно, что цилиндрическое по-
            x2 + y2       r                        r

ле проще всего описывается в цилиндрических координатах, так как функ-
ция u(M) не будет зависеть от координат ϕ , z .
         Скалярное поле называется сферическим, если существует такая
точка О, что значения поля u(M) зависят только от расстояния r от точки М
до точки О. Если точка О взята за начало системы координат, то

r = x 2 + y 2 + z 2 и u(M)= u(r). Поверхности уровня сферического поля -

                                                                        xi + yj + zk  r
сферы с центром в точке О. В этом случае также grad r =                              = ,
                                                                        x2 + y2 + z 2 r
                     r
grad u (r ) = u ′(r ) . Сферическое поле проще всего описывается в сфериче-
                     r
ских координатах, так как функция u(M) не будет зависеть от координат
ϕ, θ .

                                               6