Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 7 стр.

                               2. Векторное поле.
      2.1. Векторное поле.
      Если каждой точке М некоторой области V пространства соответст-
вует значение некоторой векторной величины а (M), то говорят, что в об-
ласти V задано векторное поле а (M). Примеры векторных полей - поле тя-
готения, поля электрической и магнитной напряжённостей, поле скоростей
частиц движущейся жидкости.
      Если в некоторой декартовой системе координат вектор а (M) имеет
координаты Р(M), Q(M), R(M), то а ( M ) = P( M )i + Q( M ) j + R( M )k . Таким
образом, задание векторного поля а (M) эквивалентно заданию трёх ска-
лярных полей Р(M), Q(M), R(M). Будем называть векторное поле гладким,
если его координатные функции - гладкие скалярные поля. Кроме того, бу-
дем предполагать, что векторное поля не имеет особых точек, т.е.
a ( M ) ≠ 0 при ∀M ∈ V , т.е. функции Р, Q, R не равны нулю одновременно.
      В зависимости от рассматриваемых вопросов для нас будет более
предпочтительной какая-либо одна из двух интерпретаций векторного по-
ля - силовая или гидродинамическая. В силовой интерпретации вектор
а (M) трактуется как сила (например тяжести, напряжённости), действую-
щая в точке М; в гидродинамической интерпретации а (M) рассматривает-
ся как поле скоростей текущей в области V несжимаемой жидкости. Как и
в случае скалярного поля, мы рассматриваем стационарные векторные по-
ля, т.е. поля, постоянные во времени.


      2.2. Дифференциальные характеристики векторного поля.
      2.2.1. Дивергенция векторного поля.
      Пусть          в         некоторой           системе          координат
а ( M ) = P ( M )i + Q( M ) j + R( M )k . Скалярная величина (скалярное поле)

⎛ ∂P         ∂Q        ∂R        ⎞
⎜⎜    (M ) +    (M ) +    ( M ) ⎟⎟ называется дивергенцией поля в точке М и обо-
 ⎝ ∂x        ∂y        ∂z        ⎠


                                          7