Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 9 стр.

       2.2.2. Ротор векторного поля.
       Ротором векторного поля                      а (M) в точке            M ∈V           называется
векторная                         величина                     (векторное                           поле)
               ⎛ ∂R ∂Q ⎞      ⎛ ∂P ∂R ⎞      ⎛ ∂Q ∂P ⎞
rot a ( M ) = ⎜⎜   −   ⎟⎟ i + ⎜   −   ⎟ j + ⎜⎜   −   ⎟⎟ k .       Запомнить           эту     формулу
               ⎝ ∂y ∂z ⎠      ⎝ ∂z ∂x ⎠      ⎝ ∂x ∂y ⎠

очень легко, если выразить rot a ( M ) через оператор Гамильтона набла:
rot a ( M )      равен        векторному        произведению           ∇×a .        Действительно,

                              i   j k
                           ∂ ∂ ∂
rot a ( M ) = ∇ × a =               . Если теперь раскрыть этот определитель по
                           ∂x ∂y ∂z
                            P Q R
первой строке, получим rot a ( M ) = ∇ × a =

  i j k
  ∂ ∂ ∂       ⎛ ∂R ∂Q ⎞    ⎛ ∂R ∂P ⎞    ⎛ ∂Q ∂P ⎞
=             ⎜
           = i⎜   −   ⎟    ⎜
                        − j⎜   −   ⎟    ⎜       ⎟ =
                      ⎟            ⎟ + k⎜   −   ⎟
  ∂x ∂y ∂z    ⎝ ∂y ∂z ⎠    ⎝ ∂x ∂z ⎠    ⎝ ∂x ∂y ⎠
   P Q R

 ⎛ ∂R ∂Q ⎞    ⎛ ∂P ∂R ⎞   ⎛ ∂Q ∂P ⎞
 ⎜
=⎜   −   ⎟    ⎜
           i +⎜   −   ⎟   ⎜       ⎟ k.
         ⎟            ⎟ j+⎜   −   ⎟
 ⎝ ∂y ∂z ⎠    ⎝ ∂z ∂x ⎠   ⎝ ∂x ∂y ⎠
                                                                                            xy
       Пример:            если        a = ( x 3 − yz + cos( xyz ))i − xy 2 z 3 j + arctg       k,       то
                                                                                             z


                          i                j        k            ⎛ ∂ ⎛⎜⎝ arctg xyz ⎞⎟⎠ ∂ ⎛⎜⎝ − xy 2 z 3 ⎞⎟⎠ ⎞
rot a =
                         ∂                ∂          ∂
                                                          = i    ⎜⎜                   −                     ⎟⎟ −
                         ∂x              ∂y         ∂z                     ∂y                  ∂z
              x 3 − yz + cos( xyz )   − xy 2 z 3 arctg
                                                       xy         ⎝                                          ⎠
                                                        z


   ⎛ ∂ ⎛⎜⎝ arctg xyz ⎞⎟⎠ ∂( x3 − yz +cos( xyz ) ) ⎞ ⎛⎜ ∂( − xy 2 z 3 ) ∂( x3 − yz + cos( xyz ) ) ⎞⎟
− j⎜                                              ⎟+k⎜
   ⎜ ∂x −                          ∂z             ⎟ ⎝ ∂x −                       ∂y               ⎟ =
                                                                                                  ⎠
   ⎝                                              ⎠


                                                        9