Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 10 стр.

  ⎛                ⎞     ⎛                           ⎞
  ⎜    xz       2 2⎟     ⎜    yz                     ⎟                (               )
= ⎜ 2 2 2 + 3 xy z ⎟ i − ⎜ 2 2 2 + y + xy sin( xyz ) ⎟ j − y 2 z 3 − z − xz sin( xyz ) k
  ⎝ x y +z         ⎠     ⎝ x y +z                    ⎠
Свойства ротора:
            1. Если а (M) - постоянное векторное поле, то rot a = 0 ;
            2. rot (С1a1 + С 2 a2 ) = С1 rot a1 + С 2 rot a2                      (или
                  ∇ × (С1a1 + С 2 a 2 ) = С1∇ × a1 + С 2 ∇ × a 2 );
            3. Если u - скалярное поле, то rot (u ⋅ a ) = grad u × a + u rot a (или
                  ∇ × (a u ) = ∇u × a + u (∇ × a ) ). В частности, если а (M) - посто-
                 янное векторное поле, то ∇ × (ua ) = ∇u × a = grad u × a .
        Докажем                                   третье                    свойство.
                  i    j   k
                  ∂ ∂ ∂ ⎛ ∂ (uR ) ∂ (uQ) ⎞ ⎛ ∂ (uR ) ∂ (uP ) ⎞
rot (u ⋅ a ) =            =⎜     −       ⎟i − ⎜     −        ⎟j+
                  ∂x ∂y ∂z ⎜⎝ ∂y     ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂x         ∂z ⎠
                 uP uQ uR

   ⎛ ∂ ( uQ ) ∂ ( uP ) ⎞     ⎛                              ⎞
+ ⎜⎜         −         ⎟ k = ⎜ R ∂u − Q ∂u +u ⎛⎜ ∂R − ∂Q ⎞⎟ ⎟ i −
   ⎝ ∂x          ∂y ⎟⎠       ⎜ ∂y
                             ⎝          ∂z ⎜⎝ ∂y ∂z ⎟⎠ ⎟⎠

  ⎛ ∂u   ∂u ⎛ ∂R ∂P ⎞ ⎞⎟       ⎛ ∂u   ∂u ⎛ ∂Q ∂P ⎞ ⎞⎟
  ⎜
− ⎜ R − P +u ⎜    −            ⎜
                       ⎟ ⎟ j + ⎜ Q − P + u ⎜⎜    − ⎟⎟ ⎟ k =
  ⎝  ∂x  ∂z  ⎝ ∂x   ∂z ⎠ ⎠     ⎝  ∂x  ∂y    ⎝ ∂x  ∂y ⎠ ⎠

⎛ ∂u        ⎞                          ⎛              ⎞
⎜ R − Q ∂u ⎟ i − ⎛⎜ R ∂u − P ∂u ⎞⎟ j + ⎜ Q ∂u − P ∂u ⎟ k +
⎜ ∂y              ⎜              ⎟
⎝       ∂z ⎟⎠     ⎝ ∂x       ∂z ⎠      ⎜ ∂x
                                       ⎝          ∂y ⎟⎠

  ⎡ ⎛ ∂R ∂Q ⎞        ∂    ∂       ⎛ ∂   ∂  ⎞ ⎤
                   ⎛  R    P ⎞       Q   P
u ⎢ ⎜⎜   −    ⎟ i −⎜    −    ⎟ j +⎜    − ⎟k ⎥ =
  ⎢⎣ ⎝ ∂y ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂x ∂z ⎠ ⎜⎝ ∂x ∂y ⎟⎠ ⎥⎦

= grad u × a + u rot a .


        2.3. Частные случаи векторных полей.
        Векторное поле называется однородным (или постоянным), если
             →
a(M ) = const .


                                                     10