Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 12 стр.

трально-симметричного                  поля         div(u (r ) ⋅ r ) = r ⋅ grad u (r ) + u (r ) div r =
                       r
= 3u + u ′(r ) ⋅ r ⋅     = 3u + ru ′(r ), rot(u (r ) ⋅ r ) = grad u (r ) × r + u rot r =
                       r
    u ′(r )
=           (r × r ) = 0 .
       r
         Найдем вид центрально-симметричного поля, для которого дивер-
генция равна нулю (в дальнейшем мы будем называть такие поля соленои-
                                                    du     dr
дальными):                    3u + ru ′(r ) = 0 ⇒      = −3 ⇒ ln | u |= −3 ln | r | + ln | C |⇒
                                                    u      r
          C             C
⇒u =        3
              ⇒ a (M ) = 3 r .
          r             r
         Таким образом, соленоидальны только те центрально-симметричные
поля, в которых зависимость от r такая же, как в законах Кулона и всемир-
ного тяготения.


         2.4. Векторные линии.
         Так как вектор а (M) определяется длиной и направлением в про-
странстве, задание в области V поля а (M) равносильно заданию в V полей
длин и направлений. Геометрической характеристикой, определяющей в V
поле направлений, служит совокупность векторных линий.
         Векторной линией поля а (M) называется любая линия, которая в
каждой своей точке М касается вектора а (M).
         В силовой интерпретации поля векторными линиями являются сило-
вые линии поля, в гидродинамической - векторные линии есть траектории,
по которым движутся частицы жидкости (линии тока).
         Получим дифференциальные уравнения векторных линий в декарто-
вой системе координат. Пусть векторная линия определяется векторным
уравнением r = r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k . Тогда касательный вектор к этой




                                                     12