Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 11 стр.

       Векторное поле называется плоским, если все векторы а (M) парал-
лельны некоторой плоскости П и одинаковы вдоль каждого перпендикуля-
ра к П. Если система координат введена так, что П совпадает с плоскостью
Оху, то, очевидно, а (M) = P( x, y ) i + Q( x, y ) j . Плоское поле достаточно
рассматривать в пределах плоскости Оху, так как во всех плоскостях, па-
                                                                                    ∂P ∂Q
раллельных Оху, оно одинаково. Для плоского поля div a =                              +   ,
                                                                                    ∂x ∂y

           i      j k
          ∂ ∂ ∂ ⎛ ∂Q ∂P ⎞
rot a =           =⎜    −    ⎟k . Пример плоского поля - магнитное поле,
          ∂x ∂y ∂z ⎜⎝ ∂x ∂y ⎟⎠
           P Q 0
создаваемое током I, текущим по бесконечно длинному проводнику. Если
ось Oz направлена вдоль этого проводника, то вектор напряженности маг-
                                      − yi + xj
нитного поля равен H = 2 I                      , это поле определено везде, кроме оси
                                      x2 + y2
Oz.
       Векторное поле называется центральным, если в каждой точке
M ∈V           вектор       а (M)    коллинеарен           радиусу-вектору   этой     точки:
a ( M ) = u ( M )r          ( r = xi + yj + zk ).         Так    как    div r = 1 + 1 + 1 = 3 ,
           i  j k
rot r =   ∂ ∂ ∂
          ∂x ∂y ∂z
                     = 0,           то              для         центрального            поля
           x y z


div(u ⋅ r ) = r ⋅ grad u + u div r = 3u + r ⋅ grad u , rot (u ⋅ r ) = grad u × r + u rot r =
 = grad u × r .
       Векторное поле называется центрально-симметричным, если оно
центрально, и функция u(M) зависит только от расстояния r, т.е. от длины

радиуса-вектора точки М : a ( M ) = u (r )r ( r = x 2 + y 2 + z 2 ). Так как

               xi + yj + zk r                                          r
grad r =                   = , grad u (r ) = u ′(r ) grad r = u ′(r ) ⋅ , то для цен-
               x2 + y2 + z2 r                                          r




                                                      11