Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 13 стр.

линии r ′(t ) = x(t )′i + y (t )′ j + z (t )′k в любой точке должен быть коллинеа-

рен полю, т.е. x(t )′i + y (t )′ j + z (t )′k = λ (Pi + Qj + Rk ) ⇒
                                                                      dx
                                                                         = λP,
                                                                      dt
dy       dz           dx             dy               dz
   = λQ , = λR ⇒                =               =               .
dt       dt      P ( x , y , z ) Q ( x , y , z ) R ( x, y , z )
       Эта записанная в симметричной форме система из трёх уравнений
первого порядка и определяет векторные линии. Так как функции P, Q, R
одновременно не обращаются в нуль, то в любой точке одна из них отлич-
на от нуля. Пусть, например, в точке М 0 ( x0 , y0 , z 0 )∈V P( x0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0 . То-
                                             dy Q ( x, y, z ) dz R( x, y, z )
гда систему можно записать в виде              =             ;  =             . Функции
                                             dx P( x, y, z ) dx P( x, y, z )
P, Q, R непрерывно дифференцируемы, поэтому для последней системы
выполняются условия теоремы существования и единственности задачи
Коши с начальными условиями y ( x0 ) = y 0 , z ( x0 ) = z 0 . Следовательно, через
точку М0 проходит, и при том единственная, интегральная кривая системы,
которая и будет векторной линией поля.
       Пусть, например, поле a = xi + yj + 2 x 2 k . Тогда векторные линии
                                dx dy dz                    dx dy
определяются системой              =  = 2 . Решая уравнение    =   , полу-
                                 x   y 2x                    x   y
                                      dx dz
чим y = x + C1 , из уравнения           = 2 получаем z = x 2 + C 2 , таким обра-
                                       x 2x
                               ⎧ y = x + C1 ,
зом, уравнения векторных линий ⎨
                               ⎩ z = x + C2 .
                                      2



       Пусть L - некоторая кривая в области V, не яв-
ляющаяся векторной линией. Проведём через каждую
точку L векторную линию; получившаяся в результа-
те поверхность называется векторной поверхностью.
Если L - замкнутая линия, то поверхность называется
векторной трубкой. Основное свойство векторной
трубки: векторная линия, вошедшая в трубку через поперечное сечение σ 1 ,

                                                 13