Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 15 стр.

               3.Поток векторного поля через поверхность.
      Среди других достоинств математики её мощь заключается, в част-
ности, в способности исследовать процессы в самых разных областях есте-
ствознания, абстрагируясь от их физической сущности.
      Имеется целый ряд физических процессов, которые описываются
поверхностными интегралами, например, магнитная индукция, поток жид-
кости через поверхность. Приведённые примеры показывают естествен-
ность введения понятия потока векторного поля через поверхность.


      3.1. Определение.
      Пусть σ - двусторонняя гладкая поверхность, расположенная в об-
ласти V, в которой задано поле а (M). Фиксируем выбором нормали n (M )
одну из двух сторон поверхности σ . Потоком векторного поля а (M) че-
рез поверхность σ называется поверхностный интеграл первого рода по
поверхности σ от скалярного произведения а (M) на единичный вектор
нормали n (M ) к выбранной стороне поверхности: П = ∫∫ a ( M )n ( M )dσ .
                                                               σ

      Существуют различные формы записи этого интеграла. Так как
a ⋅ n = пр n a = an , поток может обозначаться П = ∫∫ a n ( M )dσ . Иногда про-
                                                         σ

                                  __
изведение n dσ обозначают dσ и называют этот вектор вектором элемен-
                                           __                   __
тарной площадки, тогда П = ∫∫ a ( M ) dσ . Если связать dσ с проекциями σ
                                 σ

на координатные плоскости:
 __
d σ = n d σ = (cos α ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k ) d σ = (cos α d σ ) i +
+ (cos β d σ ) j + (cos γ d σ ) k = ± dydz ⋅ i ± dxdz ⋅ j ± dxdy ⋅ k ,
и          использовать                координатную            запись       поля
а ( M ) = P ( M )i + Q( M ) j + R( M )k , то скалярное произведение в координат-

                                                15