Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 16 стр.

ной форме даст П = ∫∫ P( M )dydz + Q( M )dxdz + R( M )dxdy , т.е. поток может
                       σ

быть выражен и через поверхностный интеграл второго рода. Напомню,
что в таком интеграле необходимо выбирать знак каждого слагаемого в за-
висимости от знака соответствующей координаты нормали.


      3.2. Свойства потока векторного поля.
      Согласно определению, поток - поверхностный интеграл, поэтому он
имеет все свойства поверхностного интеграла. Понятно, что некоторые из
этих свойств теряют смысл (интеграл от единичной функции, например),
поэтому перечислим основные свойства потока.
          1. Линейность.    ∫∫σ (αa
                                  1   + βa2 )n dσ = α ∫∫ a1n dσ + β ∫∫ a2 n dσ ;
                                                       σ             σ

          2. Аддитивность.

              ∫∫ a (M )n (M )dσ = ∫∫
            σ 1 Uσ 2              σ
                                     a ( M )n ( M )dσ + ∫∫ a ( M )n ( M )dσ .
                                                        σ
                                                                                   Здесь
                                      1                     2


            σ 1 и σ 2 - кусочно-гладкие поверхности, которые могут пере-
            секаться только по границам; нормали на этих поверхностях
            должны быть согласованы так, чтобы определять одну сторону
            всей составной поверхности σ 1 U σ 2 .
          3. Поток меняет знак при изменении стороны поверхности (так
            как в каждой точке M ∈ σ вектор n (M ) меняется на - n (M ) ).




      3.3. Вычисление потока векторного поля.
      В     соответствии          с       определением          П = ∫∫ a ( M )n ( M )dσ =
                                                                     σ


= ∫∫ P( M )dydz + Q( M )dxdz + R( M )dxdy , поток может вычисляться и с по-
  σ

мощью поверхностного интеграла первого рода, и с помощью поверхност-
ного интеграла второго рода. Рассмотрим пример.

                                               16