Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 18 стр.

  2π                                  2                                 2π                           2                            2π   2
                                               r2                                                             r3
= ∫ cos ϕ dϕ ∫  2
                                                        rdr + ∫ sin ϕ dϕ ∫         3
                                                                                                                        rdr + ∫ dϕ ∫ (6 − r 2 )3 rdr =
  0            6−r              0  0          0   6−r
                                                    2
                                                             0    0
                                                                                                                    2


 π (6 − r ) − 6
    2    2
                                                       π⎛
                                  2
                                    (       )                    332 ⎞
                                                   2
                                           2 5/2
= ∫             d ( 6 − r 2
                            ) − π    6 − r           =  ⎜ 92 6 −     ⎟.
 2 0   6 − r2                     5              0     5⎝         3 ⎠

                                                                                  2x2 + 2 y3 + z 3
               П2 =         ∫∫
                            σ
                               a ( M )n ( M )dσ = ∫∫
                                                                         Dxy        1 + 4( x 2 + y 2 )
                                                                                                                    ⋅ 1 + 4( x 2 + y 2 )
                                                                                                                                               z =− x2 − y 2
                                                                                                                                                               dσ =
                              2


      2π                                  2                   2π                            2                  2π         2                           2
                                                                  r4
= 2 ∫ cos ϕ dϕ ∫ r rdr + 2 ∫ sin ϕ dϕ ∫ r rdr − ∫ dϕ ∫ r rdr = 2π
                    2                          2                             3                   2                            6
                                                                                                                                                          −.
    0          0           0          0         0    0            4                                                                               0

                    2
     r8
− 2π                        = −2π
     8          0


                                              π⎛        332 ⎞       π⎛        362 ⎞
               П=П1+П2 =                       ⎜ 92 6 −     ⎟ − 2π = ⎜ 92 6 −     ⎟.
                                              5⎝         3 ⎠        5⎝         3 ⎠
               2. Посмотрим, к каким вычислениям
                                                                                                                                           z
приводит применение поверхностного ин-                                                                                                                         2 у
теграла                                            второго                                           рода.
Π = ∫∫ xdydz + y 2 dxdz + z 3 dxdy . Для вычис-                                                                         D1, yz
           σ                                                                                                                                                       -
ления I1 = ∫∫ xdydz придется разбить пол-                                                                           D2, yz
                               σ

ную поверхность σ = σ 1 U σ 2 на части σ 3 , находящуюся в полупростран-

стве x ≥ 0 , где cos α ≥ 0 , и σ 4 , находящуюся в полупространстве x < 0 , где

cos α < 0 ; I 1 = ∫∫ xdydz − ∫∫ xdydz = 2 ∫∫ xdydz                                                                  (с учётом того, что подынте-
                                          σ3                      σ4                        σ3


гральная                      функция                     меняет                       знак              при        переходе           от         σ3           к       σ4)

= 2 ∫∫ x x=                 − y2 −z
                                      dydz + 2 ∫∫ x x=                   6− y 2 − z 2
                                                                                        dydz =
      D1, yz                                            D2 , yz


         2          − y2                                           −2              6− z 2
=2     ∫                ∫2         − y − z dz + 2                  ∫                ∫       6 − y 2 − z 2 dy =
                                           2
               dy                                                        dz
      − 2               −                                         − 6            − 6− z 2




                                                                                                         18