Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 19 стр.

                                                                                                                                           6− z 2
                                                         −2
            2
                                                          1⎡                                      y ⎤
                (− y2 − z)                   dy + 4 ∫ dz ⋅ ⎢ y 6 − y 2 − z 2 + (6 − z 2 )arcsin
                                         2
              2                 3/ 2 − y
= −4 ∫                                                                                                 ⎥                                            =
            0 3                                           2⎣                                    6 − z2 ⎦ 0
                                      −2
                                                   − 6
            2                                  −2
                                                     8π /2        π
        ∫ (2 − y )             dy + 2 ∫ (6 − z ) dz = ∫ 4 cos 4 tdt + π (6 z − z 3 / 3) =
  8                   2 3/ 2                                                           −2
=                                                             2

  3     0                            − 6        2    3 0                               − 6



                  (
= 2π + π 4 6 − 28 / 3 = π 4 6 − 22 / 3 .  ) (                               )
                Интеграл I 2 = ∫∫ y 2 dxdz равен нулю, так как подынтегральная функ-
                                           σ

ция чётна по у, а интегралы по частям поверхности, находящихся в полу-
пространствах y ≥ 0 , где cos β ≥ 0 , и y < 0 , где cos β < 0 , берутся с раз-
ными знаками.
                Интеграл I 3 = ∫∫ z 3 dxdy = ∫∫ z 3 dxdy + ∫∫ z 3 dxdy = (в соответствии со
                                             σ                        σ2                      σ1


знаками                       cos γ                 на                     σ1                 и            σ 2 ) = ∫∫ (− x 2 − y 2 ) 3 dxdy −
                                                                                                                   Dxy



        (                             ) dxdy = − ∫ dϕ ∫ r dr + ∫ dϕ ∫ (6 − r )
                                      3                  2π            2                 2π        2
                                                                                                              2 3/ 2
− ∫∫ − 6 − x − y          2       2                                         7
                                                                                                                       rdr =
  Dxy                                                     0            0                 0         0



= −4π −
                  2π
                   5
                      (
                     32 − 36 6 =
                                 2π
                                  5
                                    36 6 − 42 .)         (                          )
                                      (
                Поток Π = π 4 6 − 22 / 3 +                        )        2π
                                                                            5
                                                                                (        π⎛
                                                                              36 6 − 42 = ⎜ 92 6 −
                                                                                         5⎝
                                                                                                       )
                                                                                                   362 ⎞
                                                                                                    3 ⎠
                                                                                                       ⎟.



                3.4. Теорема Остроградского.
                Пусть σ - кусочно-гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая
область V, а ( M ) = P ( M )i + Q( M ) j + R( M )k - гладкое векторное поле. То-
гда поток поля a через внешнюю сторону σ равен тройному интегралу от
дивергенции поля a по V:

                ∫∫σ a (M ) ⋅ n (M )dσ = ∫∫∫ div a ⋅ dv .
                                                    V

                Приведённую выше формулу обычно называют формулой Остро-
градского                 в      векторной                        форме.                 Если              записать        её    в     виде

                                                                                        19