Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 21 стр.

                                  z = ψ 2 ( x, y )
= ∫∫ dxdyR( x, y, z )
                                  z = ψ 1 ( x, y ) D∫∫xy
                                                   = R( x, y,ψ 2 ( x, y ))dxdy − ∫∫ R ( x, y,ψ 1 ( x, y ))dxdy =
    Dxy                                                                          Dxy

= ∫∫ R ( x, y, z )dxdy + ∫∫ R ( x, y, z )dxdy
    σ1                                σ2


Знак последнего слагаемого выбран с учётом того, что на σ 2 cos γ < 0 . Ес-
ли в полной границе области V присутствует цилиндрическая составляю-
щая                σ3,            то                 ∫∫
                                                     σ
                                                        R ( x, y, z )dxdy = 0 ,                    поэтому          окончательно
                                                      3


                             ∂R
∫∫ R ⋅dxdy = ∫∫∫
σ                        V   ∂z
                                dxdydz . Совершенно аналогично доказываются формулы

для двух других слагаемых. Формула Остроградского доказана.
               Применим формулу Остроградского для решения задачи, рассмот-
ренной             в         предыдущем                           разделе:             найти       поток     векторного     поля
a = xi + y 2 j + z 3 k через полную внешнюю поверхность тела, ограниченно-

                                                                                      ∂x ∂y 2 ∂z 3
го поверхностями                                z = − x − y , x + y + z = 6 : div a =
                                                              2        2       2       2
                                                                                        +    + 2
                                                                                                   =
                                                                                      ∂x ∂y    ∂z

= 1 + 2 y + 3z 2 ,

Π = ∫∫ a ( M ) ⋅ n ( M )dσ = ∫∫∫ div a ⋅ dv = ∫∫∫ (1 + 2r sin ϕ + 3 z 2 )rdrdϕdz =
           σ                                         V                             V




           ∫( 6−r                                                          )
               2                                                                       2π      2
                             − r + (6 − r                 )       − r rdr = ∫ dϕ ∫ (z + z 3 )
                                                      2 3/ 2                                          −r 2
= 2π                     2        2                                    6
                                                                                                                rdr +
                                                                                                      − 6−r 2
           0                                                                           0       0
      2π                               −r   2                                                                           2
                         2
                              ⎡ 1             r4 1         r8 ⎤
= 2 ∫ sin ϕdϕ ∫ r dr ∫ dz =2π ⎢− (6 − r ) − − (6 − r ) − ⎥ =
                              2        2 3/ 2       2 5/ 2

    0         0     − 6− r 2  ⎣ 3             4 5          8 ⎦0

                    ⎡ 1
                              (     1
                                                 )⎤ π⎛
               = 2π ⎢− 8 − 6 6 − 1 − 32 − 36 6 − 2⎥ = ⎜ 92 6 −     (
                                                               362 ⎞
                                                                   ⎟.                      )
                    ⎣ 3             5             ⎦ 5⎝          3 ⎠
               Естественно, ответ получился тот же; но этот способ вычисления
оказался самым простым.




                                                                                       21