Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

22
3.5. Инвариантное определение дивергенции.
В разделе 2.2.1. Дивергенция векторного поля мы определили дивер-
генцию как выражение в определённой системе координат :
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= )()()()(div M
z
R
M
y
Q
M
x
P
Ma
. Теорема Остро-
градского позволяет понять смысл дивергенции по-
ля в точке М как объективного атрибута векторного
поля без использования координатной системы.
Пусть
σ
- замкнутая поверхность, окружающая
точку М, V - тело, заключенное внутри
σ
, n - вектор единичной внешней
нормали к
σ
. Тогда
∫∫∫∫∫
⋅=⋅=Π
V
dvadMnMa div)()(
σ
σ
. По теореме о
среднем для тройного интеграла существует точка
VM ∈
1
такая, что
VMadva
V
⋅=⋅=Π
∫∫∫
)(divdiv
1
. Следовательно,
V
Ma
Π
=)(div
1
. Отношение
значения некоторой физической величины к объёму принято называть
средней плотностью этой величины в объёме; если объём стягивается к
точке М, предел средней плотности называется локальным значением
плотности в точке М. Таким образом, мы можем трактовать
V
Ma
Π
=)(div
1
как среднюю плотность потока в объёме V. Будем теперь стягивать
σ
к
точке М, при этом и V стягивается к точке М;
MM →
1
, и, вследствие не-
прерывности
adiv , )(div)(div
1
MaMa → . Поэтому =
Π
=
→
V
Ma
M
σ
lim)(div
V
dna
M
∫∫
→
=
σ
σ
σ
lim будет равна плотности потока в точке М, и так как плот-
ность потока определяется независимо от выбора какой-либо системы ко-
ординат, то дивергенция векторного поля инвариантна относительно вы-
бора координатной системы.
M
1
V
σ
M 
         3.5. Инвариантное определение дивергенции.
          В разделе 2.2.1. Дивергенция векторного поля мы определили дивер-
генцию         как      выражение       в   определённой       системе     координат   :
               ⎛ ∂P        ∂Q        ∂R        ⎞
div a ( M ) = ⎜⎜    (M ) +    (M ) +    ( M ) ⎟⎟ . Теорема Остро-
               ⎝ ∂x        ∂y        ∂z        ⎠

градского позволяет понять смысл дивергенции по-                    M             V
ля в точке М как объективного атрибута векторного
поля без использования координатной системы.
                                                                                  σ
Пусть σ - замкнутая поверхность, окружающая                         M1
точку М, V - тело, заключенное внутри σ , n - вектор единичной внешней
нормали к σ . Тогда Π = ∫∫ a ( M ) ⋅ n ( M )dσ = ∫∫∫ div a ⋅ dv . По теореме о
                                    σ                      V

среднем для тройного интеграла существует точка M 1 ∈V такая, что
                                                                          Π
Π = ∫∫∫ div a ⋅ dv = div a ( M 1 ) ⋅ V . Следовательно, div a ( M 1 ) =     . Отношение
      V                                                                   V
значения некоторой физической величины к объёму принято называть
средней плотностью этой величины в объёме; если объём стягивается к
точке М, предел средней плотности называется локальным значением
                                                                                       Π
плотности в точке М. Таким образом, мы можем трактовать div a ( M 1 ) =
                                                                                       V
как среднюю плотность потока в объёме V. Будем теперь стягивать σ к
точке М, при этом и V стягивается к точке М; M 1 → M , и, вследствие не-
                                                                                    Π
прерывности div a , div a ( M 1 ) → div a ( M ) . Поэтому div a ( M ) = lim           =
                                                                               σ →M V



          ∫∫σ a n dσ
= lim                  будет равна плотности потока в точке М, и так как плот-
  σ →M       V
ность потока определяется независимо от выбора какой-либо системы ко-
ординат, то дивергенция векторного поля инвариантна относительно вы-
бора координатной системы.



                                                22

Страницы