Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 24 стр.

              4. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля.
          4.1. Определение линейного интеграла.
          Пусть в пространственной области V определено непрерывное век-
торное поле а (M), L - гладкая кривая, располо- a (M ) τ(M )
                                                                                 L
женная в V. Линейным интегралом поля а вдоль        M
линии L называется криволинейный интеграл по                                     B
длине дуги от скалярного произведения а (M) на                    A r (M )
единичный              касательный         вектор        τ (M):
                                                                         O
W = ∫ a ( M ) ⋅ τ ( M ) ds .
      L

          Как и поток, этот интеграл может представляться различным обра-
зом. Так, если учесть, что произведение τ (M ) на ds даёт изменение ра-

диуса-вектора точки М, т.е. τ ⋅ ds = dr = dxi + dyj + dzk ,то W = ∫ a ( M )dr и
                                                                             L


W = ∫ Pdx + Qdy + Rdz . Следовательно, линейный интеграл может быть
      L

выражен и через линейный интеграл по координатам.
          Физический смысл линейного интеграла: если а (M) - силовое по-
ле, то W равен работе этого поля при перемещении материальной точки
вдоль линии L.


          4.2. Основные свойства линейного интеграла.
          4.2.1. Линейность.

          ∫ (С1a1 + С2 a2 )τ ds = С1 ∫ a1τ ds + С2 ∫ a2τ ds ;
          L                          L             L

          4.2.2. Аддитивность.

              ∫ a ⋅ τ ds = ∫ a ⋅ τ ds + ∫ a ⋅ τ ds . Направление на каждой из частей L1
          L1 U L2       L1         L2


и L2 должно быть таким же, как и на всей кривой L1 U L2 ;


                                                  24