Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 25 стр.

         4.2.3. При изменении направления вдоль L линейный интеграл меняет
знак.
         Это следует из того, что вектор τ (M) меняется на - τ (M).
         4.2.4. Если L - векторная линия поля, и движение происходит в на-
правлении поля, то W>0.
         В       этом      случае         вектор         τ (M)       коллинеарен              а (M),        поэтому
a ⋅ τ = пр a =| a |> 0 .
             τ




         4.3. Вычисление линейного интеграла.
         Как и любой криволинейный интеграл, линейный интеграл вычисля-
ется сведением к определённому интегралу по параметру на кривой; обыч-
но вычисляют криволинейный интеграл W = ∫ Pdx + Qdy + Rdz . Если кри-
                                                                           L


          ⎧ x = x(t ),
          ⎪
вая L з : ⎨ y = y (t ), t0 ≤ t ≤ t k , где x(t ), y (t ), z (t ) - непрерывно дифференци-
          ⎪ z = z (t );
          ⎩
руемые функции, то                           W = ∫ P ( x, y, z ) ⋅ dx + Q( x, y, z ) ⋅ dt + R( x, y, z ) ⋅ dz =
                                                   L

  tk

= ∫ [P( x(t ), y (t ), z (t )) ⋅ x ′(t ) + Q( x(t ), y (t ), z (t )) ⋅ y ′(t ) + R( x(t ), y (t ), z (t )) ⋅ z ′(t )]dt.
   t0


Направление интегрирования определяется направлением движения по
кривой.


         4.4. Циркуляция векторного поля.
         Циркуляцией называется линейный интеграл векторного поля по
замкнутой кривой С: Ц = ∫ a ⋅ dr .
                                         C

         Обычно говорят, что циркуляция характеризует вращательную спо-
собность поля. Имеется в виду следующее. Если векторные линии поля
замкнуты, то, как мы видели, циркуляция по ним в направлении поля по-


                                                               25