Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 27 стр.

       4.6. Пример непосредственного вычисления циркуляции вектор-
ного поля и вычисления по формуле Стокса.
       Требуется вычислить циркуляцию поля a = yi − j + xzk по контуру
С, образующемуся в результате пересечения
                                                                                          z
поверхности x + y + z 2 = 1 с координатными                                                    n
                                                                                         D
                                                                                                   y + z2 = 1
плоскостями.                                                                   C

       Решение. Непосредственное вычисле-                              x + z2 = 1        O                y

                                                                                                      B
ние.                                                                       x            x + y =1
                                                                               A
        Ц = ∫ a ⋅ dr = ∫ ydx − dy + xzdz = ∫ a ⋅ dr +
                  C            C                        ∪
                                                        AB

∫ a ⋅ dr + ∫ a ⋅ dr .
∪             ∪
BD            DA

       На АВ z = dz = 0, y = 1 − x, dy = − dx , поэтому
                                                                                0
                       0                          0
                                                       (2 − x) 2
W1 = ∫ a ⋅ dr = ∫ [(1 − x) − (−1)]dx = ∫ (2 − x)dx = −                              = −2 + 1 / 2 = −3 / 2
     ∪          1                      1                   2                    1
       AB


       На                  BD               x = dx = 0, y = 1 − z 2 , dy = −2 zdz ,                поэтому
                           0
                                        0
W2 = ∫ a ⋅ dr = − ∫ dy = − y 1 = 1 .
       ∪                   1
       BD


       На                  DА               y = dy = 0, x = 1 − z 2 , dx = −2 zdz ,                поэтому
                                                        0
                       0
                                    ⎛ z2 z4 ⎞ 1
W3 = ∫ a ⋅ dr = ∫ (1 − z 2 ) zdz = ⎜⎜ − ⎟⎟ = − .
     ∪
     DA
                1                   ⎝ 2  4 ⎠1 4

                                 3     1   3
       Итак, Ц = W1 + W2 + W3 = − + 1 − = − .
                                 2     4   4
       Вычисление                  по       формуле          Стокса.      Находим             ротор       поля
                   i   j k
              ∂ ∂ ∂
а : rot a =             = − zj − k . Дальше требуется определить, что мы
              ∂x ∂y ∂z
               y − 1 xz
должны взять в качестве поверхности                          σ    (или, как часто говорят, какую

                                                             27