Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

28
поверхность натянуть на контур С). В рассматриваемом случае ответ оче-
виден - единственная поверхность, которая у нас есть, это цилиндрическая
поверхность 1
2
=++ zyx , следы которой в координатных плоскостях и
образуют контур С. Однако возможны случаи, когда удачный выбор по-
верхности существенно упрощает вычисления. Пусть,
например, контур С - окружность, образованная пере-
сечением параболоида
22
yxz += и конуса
222
yxz += . В качестве σ можно взять и часть парабо-
лоида, и часть конуса, опирающиеся на эту окруж-
ность, но лучше всего взять часть плоскости 1
=
z , ограниченную этой ок-
ружностью. Вернёмся к задаче. Находим нормаль к
σ
:
2
411
2
z
kzji
n
++
++
= ,
знак взят с учётом того, что должно быть 0cos >
γ
. Теперь
22
42
3
42
2
)(rot
z
z
z
kzji
kjzna
+
−=
+
++
−−=⋅
; спроецируем
σ
на Охz:
dxdzz
dxdz
d
2
42
|cos|
+==
β
σ
;
\
zdxdzdxdzz
z
z
dna 342
42
3
rot
2
2
−=+⋅
+
−=⋅
σ
. Вычисляем
=−−=−=−==
∫∫∫∫∫∫∫
− 1
0
2
1
0
1
0
)1(333rot
2
zdzzdxzdzzdzdnaЦ
z
D
xz
δ
δ
4
3
42
3
1
0
42
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
zz
.
Самостоятельно доказать, что если а (M) - плоское поле, и
σ
ле-
жит в плоскости Оху, то формула Стокса сводится к формуле Грина.
4.7. Инвариантное определение ротора.
Пусть
V
M
∈
. Возьмём малую плоскую площадку
σ
, ограниченную
контуром
С. По теореме Стокса циркуляция по С равна 
поверхность натянуть на контур С). В рассматриваемом случае ответ оче-
виден - единственная поверхность, которая у нас есть, это цилиндрическая
поверхность x + y + z 2 = 1 , следы которой в координатных плоскостях и
образуют контур С. Однако возможны случаи, когда удачный выбор по-
верхности существенно упрощает вычисления. Пусть,
например, контур С - окружность, образованная пере-
сечением          параболоида              z = x2 + y2              и      конуса

z 2 = x 2 + y 2 . В качестве σ можно взять и часть парабо-
лоида, и часть конуса, опирающиеся на эту окруж-
ность, но лучше всего взять часть плоскости z = 1 , ограниченную этой ок-
                                                                                              i + j + 2 zk
ружностью. Вернёмся к задаче. Находим нормаль к σ : n =                                                         ,
                                                                                               1 + 1 + 4z   2


знак       взят   с    учётом         того,     что        должно          быть      cos γ > 0 .    Теперь

                           i + j + 2 zk               3z
rot a ⋅ n = (− z j − k )                   =−                   ;       спроецируем       σ        на    Охz:
                                2 + 4z 2         2 + 4z 2
         dxdz
dσ =             = 2 + 4 z 2 dxdz ;
       | cos β |
                           3z
\ rot a ⋅ n dσ = −                 ⋅ 2 + 4 z 2 dxdz = −3 zdxdz .                              Вычисляем
                       2 + 4z 2
                                           1    1− z 2              1
Ц = ∫∫ rot a n dδ = −3 ∫∫ zdz = −3∫ zdz ∫ dx = −3∫ (1 − z 2 ) zdz =
       δ                    Dxz            0      0                 0

                   1
     ⎛ z2 z4 ⎞ 3
= −3⎜⎜ − ⎟⎟ = − .
     ⎝ 2 4 ⎠0  4

           Самостоятельно доказать, что если а (M) - плоское поле, и σ ле-
жит в плоскости Оху, то формула Стокса сводится к формуле Грина.


           4.7. Инвариантное определение ротора.
           Пусть M ∈ V . Возьмём малую плоскую площадку σ , ограниченную
контуром          С.    По         теореме       Стокса                 циркуляция      по     С        равна

                                                           28

Страницы