Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 26 стр.

ложительна, при этом в гидродинамической интерпретации частицы жид-
кости крутятся по этим замкнутым линиям. Пусть теперь линии тока про-
извольны; вообразим в объёме V замкнутый контур С. Если в результате
движения жидкости этот контур будет вращаться, то поле обладает враща-
тельной способностью; абсолютная величина циркуляции будет опреде-
лять угловую скорость вращения (чем больше |Ц|, тем выше скорость);
знак циркуляции покажет, совпадает ли направление вращения с направ-
лением интегрирования.


       4.5. Теорема Стокса.
       Пусть в пространственной области V задано гладкое векторное поле
а (M) и σ - незамкнутая кусочно-гладкая поверх-
                                                                                n (M )
ность, ограниченная контуром С. Единичный вектор             σ
нормали n (M ) выбирается так, что с его конца на-
правление обхода С видно совершающимся против
                                                                            С
часовой стрелки. Тогда циркуляция поля а по кон-
туру С равна потоку ротора этого поля через поверхность σ :

∫ a ⋅ dr = ∫∫σ rot a ⋅ n dσ .
C

       Приведённую формулу называют формулой Стокса в векторной
форме. В координатной форме формула Стокса имеет вид
                                 ⎛ ∂R ∂Q ⎞         ⎛ ∂P ∂R ⎞        ⎛ ∂Q ∂P ⎞
       ∫C Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫σ ⎜⎝ ∂y ∂z ⎟⎠
                                 ⎜   −    ⎟ dydz + ⎜   −   ⎟
                                                   ⎝ ∂z ∂x ⎠
                                                             dxdz + ⎜⎜
                                                                     ⎝ ∂x
                                                                          −
                                                                            ∂y
                                                                               ⎟⎟dxdy
                                                                                ⎠
или
                         ⎡⎛ ∂R ∂Q ⎞           ⎛ ∂P ∂R ⎞             ⎛ ∂Q ∂P ⎞       ⎤
∫C Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫σ ⎢⎜⎝ ∂y ∂z ⎟⎠
                           ⎜   −    ⎟ cos α + ⎜
                                              ⎝ ∂z
                                                   −
                                                     ∂x
                                                        ⎟
                                                        ⎠
                                                          cos β z + ⎜   −   ⎟
                                                                    ⎜ ∂x ∂y ⎟
                                                                    ⎝       ⎠
                                                                              cos γ ⎥ dσ
                         ⎣                                                          ⎦

       Мы примем эту формулу без доказательства.




                                            26