Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 30 стр.

                         5. Специальные векторные поля.
     5.1. Потенциальное векторное поле.
     5.1.1. Определение потенциального поля.
     Векторное поле а (M) называется потенциальным в области V, если
существует такое скалярное поле ϕ (M ) , что а (M) = grad ϕ ( M ) для
∀M ∈ V . Поле ϕ (M ) называется потенциалом поля а (M).
     5.1.2. Свойства потенциального поля.
        1. Потенциал определён с точностью до произвольной постоян-
           ной ( grad ϕ = grad(ϕ + С ) ).
        2. Разность потенциалов в двух точках M 1 ∈ V , M 2 ∈ V определе-
           на однозначно.
        3. Если поле а (M) потенциально, то линейный интеграл этого
                                       ∪
           поля по любой кривой AB , целиком лежащей в V, определяет-
           ся только начальной и конечной точками этой кривой, и не за-
           висит от формы кривой.                W = ∫ a dr =     ∫ Pdx + Qdy + Rdz =
                                                      ∪           ∪
                                                     AB          AB

                    ∂ϕ     ∂ϕ    ∂ϕ
               ∫ ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz = ∫ dϕ = ϕ ( P)
                                                          B
           =                                              A
                                                              = ϕ ( B) − ϕ ( A) .   Эта
               ∪                            ∪
               AB                           AB

           формула, как и в плоском случае, является обобщением фор-
           мулы Ньютона-Лейбница для потенциального поля.
        4. Циркуляция потенциального в области V поля по любому кон-
           туру, лежащему в V, равна нулю.
        5. Векторная линия потенциального поля в каждой точке М орто-
           гональна эквипотенциальной поверхности (т.е. поверхности
           уровня потенциала), проходящей через точку М.




                                            30