Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 31 стр.

        6. Ротор     потенциального        векторного    поля   равен   нулю:


                            i    j k
                            ∂     ∂ ∂     ⎛ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ⎞ ⎛ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ⎞
            rot (grad ϕ ) =            = ⎜⎜     −     ⎟⎟i + ⎜⎜ −    ⎟⎟ j +
                            ∂x   ∂y ∂z    ⎝ ∂y∂z ∂z∂y ⎠ ⎝ ∂z∂x ∂x∂z ⎠
                            ∂ϕ   ∂ϕ ∂ϕ
                            ∂x   ∂y ∂z

               ⎛ ∂ 2ϕ   ∂ 2ϕ ⎞
            + ⎜⎜      −      ⎟⎟k = 0
               ⎝ ∂x∂y ∂y∂x ⎠
     Введём определение безвихревого поля: поле а (M), ротор которого в
каждой точке равен нулю, называется безвихревым.
     Мы доказали, что потенциальное поле необходимо безвихрево.
Дальше мы займёмся достаточными условиями потенциальности.
     5.1.3. Достаточные условия потенциальности.
     Теорема. Если область V и поле а (M) удовлетворяют следующим
условиям:
  1. V - односвязная область;
  2. Поле а (M) - безвихрево (т.е. rot a ( M ) = 0 ),
     то а (M) - потенциальное в V поле.
     Доказательство. Напомним определение односвязной области: об-
ласть (на плоскости, в пространстве) называется односвязной, если любой
замкнутый контур, лежащий в этой области, можно не-                          B
прерывной деформацией стянуть в точку, не выходя T
при этом за пределы области. Нам при доказательстве                          S
теоремы придётся строить поверхности, натянутые на              A
контуры; определение односвязности как раз гарантирует, что такие по-
верхности существуют, и ими могут служить поверхности, образующиеся
при деформации контура в точку.
     1. Докажем, что если выполняются условия теоремы, то линейный
                                            ∪
интеграл поля а (M) по любой кривой AB , целиком лежащей в V, опреде-

                                           31