Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 32 стр.

ляется только начальной и конечной точками этой кривой, и не зависит от
её формы. Пусть ASB и ATB - два пути, соединяющие точки А и В. Вместе
они образуют замкнутый контур ASBTA. Пусть σ - кусочно-гладкая по-
верхность, натянутая на этот контур. Тогда по формуле Стокса

    ∫ a ⋅ dr = ∫∫σ rot a ⋅ n dσ = 0 ,
ASBTA
                                                    так                как                 rot a ( M ) = 0 .                    Но


    ∫ a ⋅ dr = ∫ a ⋅ dr + ∫ a ⋅ dr = ∫ a ⋅ dr − ∫ a ⋅ dr = 0
ASBTA         ASB         BTA         ASB         ATB
                                                                       ⇒     ∫ a ⋅ dr = ∫ a ⋅ dr .
                                                                             ASB             ATB


           2. Докажем, что если мы фиксируем точку M 0 ∈V и возьмём

ϕ (M ) =      ∫ a dr ,
              ∪
                          то a ( M ) = grad ϕ ( M ) , т.е. определённая таким образом
             M 0M


функция ϕ ( M ) действительно является потен-
                                                                                              у
циалом поля а (M). Это доказательство полно-
                                                                                                 M ( x , y, z ) M ′( x + Δx, y, z )
стью повторяет доказательство теоремы о вы-
                                                                                            G                    x
числении криволинейного интеграла второ-                                                                                    х
                                                                                             O       M 0 ( x0 , y0 , z0 )
го рода в случае, когда выполняются усло-                                          z
вия независимости от формы пути. Именно,
                                      ∂ϕ                  ∂ϕ                 ∂ϕ
требуется доказать, что                  = P ( x, y, z ),    = Q( x, y, z ),    = R ( x, y , z ) .
                                      ∂x                  ∂y                 ∂y
           Действительно, пусть                   M ( x, y , z ) ∈ G ,         M ′( x + Δx, y, z ) ∈ G . Тогда

ϕ (M ) =      ∫
              ∪
                    Pdx + Qdy + Rdz , ϕ ( M ′) =               ∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
                                                               ∪                                        ∪
             M 0M                                           M 0 MM ′                                  M 0M
                                                                                   x + Δx
+    ∫ Pdx + Qdy + Rdz ⇒
     ∪
                                      ϕ ( x + Δx , y , z ) = ϕ ( x , y , z ) +         ∫ P( x, y, z )dx
                                                                                       x
    MM ′

(на MM ′            y = const, z = const )

⇒ Δ x ϕ ( x , y , z ) = ϕ ( x + Δx , y , z ) − ϕ ( x , y , z ) =    ∫ P(x, y, z )dx = P(x , y, z )⋅ Δx
                                                                   x + Δx
                                                                                                                              (по

                                      Δ xϕ
теореме о среднем) ⇒                       = P( x , y, z ) . Точка x удовлетворяет условиям
                                       Δx




                                                              32