Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 34 стр.

                                                               y cos( xy )                             x cos(xy)
В        нашем               поле           P ( x, y , z ) =               ,          Q( x, y, z ) =             ,
                                                                   z                                       z
                     sin( xy )
R ( x, y , z ) = −             .
                        z2
                                                   ∂R    x cos( xy)                 ∂Q    x cos( xy ) ∂R
        Находим            производные:               =−            ,                  =−            =    ;
                                                   ∂y        z2                     ∂z        z2       ∂y
∂P    y cos( xy )                  ∂R    y cos( xy ) ∂P                        ∂Q cos( xy ) − xy sin( xy )
   =−             ,                   =−            =    ;                        =                        ,
∂z        z2                       ∂x        z2       ∂z                       ∂x            z
∂P cos( xy ) − xy sin( xy ) ∂Q
   =                       =    . Потенциальность поля доказана.
∂y            z              ∂x

        Ищем потенциал. Интеграл ϕ ( M ) =                           ∫ a dr
                                                                     ∪
                                                                              вычисляем по изображён-
                                                                    M 0M


ному        на         рисунке        пути,          отправляясь               от      точки           М0(0,0,1).
                                        y                                                                       z
                 x
                   0 ⋅ cos( x ⋅ 0)        x ⋅ cos( xy )      z
                                                               sin( xy )                    sin( xy )
ϕ ( x, y , z ) = ∫                 dx + ∫               dy − ∫
                                                                                        y
                                                                    2
                                                                         dz = sin( xy ) 0 +             =
                 0       1              0       1            1    z                            z      1

             ⎡ sin( xy)           ⎤ sin( xy) . Если бы мы взяли в качестве точки М
= sin( xy) + ⎢          − sin( xy)⎥ =                                             0
             ⎣ z                  ⎦    z

другую точку М1, то получили бы выражение, отличающееся на некоторую
                                                                                                sin( xy )
постоянную (более точно, на С =                      ∫ a dr ); поэтому ϕ ( x, y, z ) =
                                                     ∪                                             z
                                                                                                          +С.
                                                   M 0 M1


        5.2. Соленоидальное векторное поле.
        5.2.1. Определение соленоидального поля.
        Векторное поле а (M) называется соленоидальным в области V, если
во всех точках этой области div a ( M ) = 0 .
        Согласно этому определению, поле не может иметь в области V ис-
точников и стоков; таким свойством обладает магнитное поле соленоида,
что и объясняет происхождение термина.
        Соленоидально поле ротора любого достаточно гладкого поля:
div rot a ( M ) = ∇ ⋅ [∇ × a ] = 0 .
        Самостоятельно доказать это свойство в координатной форме.


                                                               34