Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 33 стр.

x < x < x + Δx .              Устремим           Δx → 0 ,             тогда              x → x,         и
     Δ xϕ
lim       = lim P( x , y, z ) = P( x, y, z ) .
Δx →0 Δx    x→x


                                                  ∂ϕ                 ∂ϕ
         Аналогично доказывается, что                = Q( x, y, z ),    = R ( x, y , z ) .
                                                  ∂y                 ∂z
         5.1.4. Нахождение потенциала.
         В предыдущем разделе мы доказали, что если выполняются условия
потенциальности поля а (M), то ϕ ( M ) =                     ∫ a dr , где
                                                             ∪
                                                                            M 0 ∈V - фиксирован-
                                                         M 0M


ная точка. Обычно, если в точке О(0,0,0) по-                                         z   М(x,y,z)
ле не имеет особенностей, то в качестве точ-
ки M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) берётся именно эта точка; М0(0,0,1)
если в этой точке поле не определено, берёт-                                                        y
ся другая точка. Интегрирование ведут по                                    x
пути, состоящим из отрезков, параллельных координатным осям. В резуль-
                               x                   y                            z
тате получим ϕ ( M ) = ∫ P( x, y0 , z 0 )dx + ∫ Q( x, y, z 0 )dy + ∫ R ( x, y, z )dz .
                               x0                  y0                           z0


         Пример.                       Доказать,                            что                     поле
                   y cos( xy )    x cos( xy )    sin( xy )
a ( x, y , z ) =               i+             j−           k потенциально, и найти потен-
                       z              z             z2
циал этого поля.
         Решение. Мы будем доказывать, что это поле потенциально в любой
односвязной области V, не содержащей точку О(0,0,0). Условие безвихре-
вости поля а :
                          i    j k
                         ∂ ∂ ∂ ⎛ ∂R ∂Q ⎞ ⎛ ∂P ∂R ⎞ ⎛ ∂Q ∂P ⎞
         rot a ( M ) =           =⎜    −    ⎟i + ⎜ −  ⎟j+⎜   −    ⎟k = 0 в
                         ∂x ∂y ∂z ⎜⎝ ∂y ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎜⎝ ∂x ∂y ⎟⎠
                          P Q R
                                                                 ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P
координатной форме сводится к равенствам                           =  ,  =  ,  =   .
                                                                 ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y


                                                        33