Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 36 стр.

      5.3. Гармонические поля.
      5.3.1. Оператор Лапласа.
      Пусть функция ϕ ( x, y, z ) имеет непрерывные вторые частные произ-

                     ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ           ∂2  ∂2  ∂2
водные. Вычислим Δϕ = 2 + 2 + 2 . Оператор Δ = 2 + 2 + 2 , с
                     ∂x   ∂y   ∂z             ∂x  ∂y  ∂z
помощью которого по функции ϕ ( x, y, z ) получена функция Δϕ , называ-
ется оператором Лапласа, или лапласианом. Формально его можно полу-
чить возведением в скалярный квадрат оператора Гамильтона набла:
             ⎛∂    ∂     ∂ ⎞⎛ ∂      ∂     ∂ ⎞ ∂2     ∂2  ∂2
∇ = ∇ ⋅ ∇ = ⎜⎜ i +
  2
                      j + k ⎟⎟⎜⎜ i +    j + k ⎟⎟ = 2 + 2 + 2 = Δ .
             ⎝ ∂x  ∂y    ∂z ⎠⎝ ∂x    ∂y    ∂z ⎠ ∂x    ∂y  ∂z
      Можно      дать    другое     представление       оператора     Лапласа:
Δϕ = ∇ 2ϕ = ∇ ⋅ (∇ϕ ) = ∇ ⋅ grad ϕ = div grad ϕ , и это будет уже инвариантным
определением оператора.
      5.3.2. Гармонические поля.
      Скалярное поле ϕ ( М ) называется гармоническим, если оно удовле-

                                       ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
творяет уравнению Лапласа Δϕ = 0 , или     +    +     = 0 . Векторное
                                       ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
поле а (M) называется гармоническим, если оно является градиентом не-
которой гармонической функции, т.е. а (M) = grad ϕ ( M ) , где Δϕ = 0 .
      Из этого определения следует, что гармоническое векторное поле
одновременно       потенциально        и        соленоидально,      так    как
div a ( M ) = divgrad ϕ ( M ) = Δϕ = 0 . Верно и обратное: если а (M) одновре-
менно и потенциально, и соленоидально, то оно является гармоническим.
Действительно, из потенциальности ⇒ ∃ϕ ( M ) : a ( M ) = grad ϕ ( M ) , из со-
леноидальности     ⇒ diva ( M ) = div grad ϕ ( M ) = 0 ⇔ Δϕ = 0 , т.е. ϕ (М ) -
гармонический потенциал. Каждая координата гармонического векторного
поля является гармонической функцией.




                                           36