Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 20 стр.

                                                   ⎛ ∂P ∂Q ∂R ⎞
∫∫ ( P ⋅ cos α + Q ⋅ cos β + R ⋅ cos γ )d σ = ∫∫∫ ⎜⎜ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎟dxdydz                                               или
σ                                                        V   ⎝                            ⎠
                                                  ⎛ ∂P       ∂Q        ∂R ⎞
∫∫σ P ⋅ dydz + Q ⋅ dxdz + R ⋅dxdy = ∫∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x + ∂y
                                              V
                                                                   +       ⎟dxdydz , то получим фор-
                                                                       ∂z ⎟⎠
мулу Остроградского в координатной форме. Естественно, для потока в
левой части формулы могут применяться и другие обозначения.
        Доказательство. Достаточно доказать формулу в случае, когда тело
V - простое, т.е. проекция V на любую координатную плоскость - простая
область D, и любая прямая, перпендикулярная этой плоскости и проходя-
щая через внутреннюю точку V, пересекает границу V в двух точках. Если
V не является простой областью, мы                                            n1                 σ1
                                                                                                          z = ψ 2 ( x, y )
разобьём её на простые части; тогда
                                                                   z
сумма тройных интегралов по этим                                                                               σ3
                                                                                      V
частям, в силу аддитивности, даст
интеграл по всей области V ; а при                                                                              у
                                                                                σ2
вычислении поверхностных интегра-                                                              n2     z = ψ1 ( x , y )
лов интегралы по введённым внут-                                   х                          D ху
ренним перегородкам будут браться
дважды с противоположными направлениями нормали и взаимно уничто-
жатся. Кроме того, достаточно доказать формулу Остроградского для каж-
                                                         ∂P                                                ∂Q
дого из слагаемых:               ∫∫σ P ⋅ dydz = ∫∫∫ ∂x dxdydz , ∫∫σ Q ⋅ dxdz = ∫∫∫ ∂y dxdydz ,
                                                   V                                                  V

                      ∂R
∫∫σ R ⋅dxdy = ∫∫∫ ∂z dxdydz , тогда сумма этих формул даст общую формулу.
                  V

                                                              ∂R
Докажем, например, что               ∫∫σ R ⋅dxdy = ∫∫∫ ∂z dxdydz . Простую область V, как
                                                         V

мы           знаем,            можно               описать                следующим                           образом:
V = {( x, y, z ) | ( x, y ) ∈ Dxy , ψ 1 ( x, y ) ≤ z ≤ ψ 2 ( x, y )}.
                                                                         ψ ( x, y )
             ∂R                            ∂R                   2
                                                                     ∂R
Вычисляем ∫∫∫ dxdydz :                 ∫∫∫ ∂z
                                              dxdydz = ∫∫ ψ (∫x, y ) ∂z dz =
                                                           dxdy
           V ∂z                         V              Dxy      1




                                                             20