Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 17 стр.

       Пример. Найти поток векторного поля
a = xi + y 2 j + z 3 k через полную внешнюю
поверхность тела, ограниченного поверхно-
стями z = − x 2 − y 2 , x 2 + y 2 + z 2 = 6 .
       Решение. Поверхность состоит из
двух частей: σ 1 - часть нижней полусферы

z = − 6 − x 2 − y 2 накрытая σ 2 - частью по-

верхности параболоида z = − x 2 − y 2 ; уровень пересечения этих поверхно-

стей по оси Oz определяется уравнением z 2 − z = 6 , откуда z = −2 ; проек-
ция линии пересечения на плоскость Oxy - окружность радиуса R = 2 .
                                    2 xi + 2 yj + 2 zk
Выпишем нормали: n1 = ±                                           ; выбираем знак "+", так как на
                                     4x + 4 y + 4z
                                       2        2             2



σ 1 нормаль образует тупой угол с осью Oz, и коэффициент при k должен
быть отрицателен (мы находимся в полупространстве z < 0 ). С учётом то-
                                                xi + yj + zk              z     z
го, что на σ 1 x 2 + y 2 + z 2 = 6 , n1 =                    , | cos γ |=    =−    . Урав-
                                                      6                    6     6

нение σ 2       в виде поверхности уровня имеет вид:                                            x2 + y2 + z = 0 ,

       2 xi + 2 yj + k
n2 =                         , знак "+", так как угол между n2 и осью Oz острый,
        4x2 + 4 y 2 + 1
                    1
| cos γ |=                      .
             4x + 4 y + 1
                2        2



       1. Вычисление с помощью поверхностного интеграла первого рода:
П=П1+П2, П1 = ∫∫ a ( M )n ( M )dσ , П2 = ∫∫ a ( M )n ( M )dσ , обе поверхности од-
                    σ1                              σ2


нозначно проектируются на плоскость Oxy в круг радиуса R = 2 , поэтому
                               x2 + y3 + z4 − 6
П1 = ∫∫ a ( M )n ( M )dσ = ∫∫              ⋅                                           dxdy =
     σ1                    Dxy       6       z                             2
                                                                  z = − 6− x − y   2




                                                         17