Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 8 стр.

                                        ⎛ ∂P        ∂Q        ∂R        ⎞
значается div a ( M ) : div a ( M ) = ⎜⎜     (M ) +    (M ) +    ( M ) ⎟⎟ . С помощью опера-
                                        ⎝ ∂x        ∂y        ∂z        ⎠

тора набла дивергенция определяется как скалярное произведение
                     ∂ r⎞
                                    (                 )
         ⎛∂    ∂                        r ∂P ∂Q ∂Q
∇ ⋅ a = ⎜⎜ i +    j + k ⎟⎟ ⋅ Pi + Qj + Rk =    +    +    . В дальнейшем
         ⎝ ∂x  ∂y    ∂z  ⎠                  ∂x   ∂y   ∂z
мы увидим, что дивергенция инвариантна относительно системы коорди-
нат и обозначает плотность источников поля, а сейчас сформулируем
свойства дивергенции:
            1. Если а (M) - постоянное векторное поле, то div a = 0 ;
            2. div(С1a1 + С 2 a2 ) = С1 div a1 + С 2 div a2
                  (или ∇(С1a1 + С 2 a 2 ) = С1∇a1 + С 2 ∇a 2 );
            3. Если u - скалярное поле, то div(u ⋅ a ) = a ⋅ grad u + u div a
                  (или ∇(ua ) = a ∇u + u∇a ). В частности, если а (M) - постоянное
                  векторное поле, то ∇(ua ) = a ∇u = a ⋅ grad u .
        Докажем,                    например,                     третье           свойство.
                                                     ∂ ( Pu ) ∂ (Qu ) ∂ ( Ru )
div(u ⋅ a ) = div((uP )i + (uQ ) j + (uR )k ) =              +       +         =
                                                        ∂x       ∂y      ∂z

  ⎛ ∂P    ∂u ⎞ ⎛ ∂Q    ∂u ⎞ ⎛ ∂R    ∂u ⎞    ⎛ ∂P ∂Q ∂R ⎞
= ⎜u   + P ⎟ + ⎜⎜ u + Q ⎟⎟ + ⎜ u + R ⎟ = u ⎜⎜   +  +   ⎟⎟ +
  ⎝ ∂x    ∂x ⎠ ⎝ ∂y    ∂y ⎠ ⎝ ∂z    ∂z ⎠    ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
    ∂u   ∂u   ∂u
P      +Q + R    = u div a + a ⋅ grad u .
    ∂x   ∂y   ∂z
        Пример                   вычисления                      дивергенции:          если
                                                      xy
a = ( x 3 − yz + cos( xyz ))i − xy 2 z 3 j + arctg       k ,то
                                                       z
                                              ⎛      xy ⎞
                                             ∂⎜ arctg ⎟
         ∂ ( x − yz + cos( xyz )) ∂ (xy z )
              3                              2   3
                                            + ⎝
                                                      z ⎠
div a =                          −                        = 3 x 2 − yz sin( xyz ) −
                   ∂x                 ∂y          ∂z
                xy
− 2 xyz 3 − 2 2
             x y + z2




                                                       8