Элементы математической теории поля. Логинов А.Ю - 5 стр.

         1. grad(C1u1 ( M ) + C 2 u 2 ( M ) ) = C1 grad u1 ( M ) + C 2 grad u 2 ( M ) , или
             ∇(С1u1 + С 2 u 2 ) = С1∇u1 + С 2 ∇u 2 ;
         2. grad(u1 ( M ) ⋅ u 2 ( M ) ) = u 2 ( M ) ⋅ grad u1 ( M ) + u1 ( M ) ⋅ grad u 2 ( M )     ,
             или ∇(u1 ⋅ u 2 ) = u 2 ⋅ ∇u1 + u1 ⋅ ∇u 2 ;

                 ⎛ u ( M ) ⎞ u 2 ( M ) ⋅ grad u1 ( M ) − u1 ( M ) ⋅ grad u 2 ( M )
         3. grad⎜⎜ 1       ⎟⎟ =                                                            ,      или
                   u
                 ⎝ 2 ( M )  ⎠                      u 22 ( M )

               ⎛ u ( M ) ⎞ u 2 ⋅ ∇u1 − u1 ⋅ ∇u 2
             ∇⎜⎜ 1        ⎟⎟ =                   ;
               ⎝ u 2 (M ) ⎠         u 22

         4. grad(F (u ( M ) ) = F ′(u ) grad u ( M ) , или ∇F (u ) = F ′(u )∇u ,
      которые легко доказываются применением обычных правил диффе-
ренцирования.
      Для визуального изображения скалярных полей применяются по-
верхности и линии (в плоском случае) уровня. Поверхностью уровня ска-
лярного поля u(M), соответствующей значению поля С, называется геомет-
рическое место точек P ∈ V таких, что u ( P ) = C . Поверхности уровня, со-
ответствующие разным значениям постоянной С, не могут иметь общих
точек, поэтому область V, в которой задано поле, расслаивается на поверх-
ности уровня; совокупность этих поверхностей, построенных для некото-
рого регулярного набора значений С, например, С=1, С=2, С=3 и т.д., даёт
наглядное представление об изменении поля при переходе от одной точке
к другой. Поле меняется быстрее там, где эти поверхности расположены
гуще. Градиент поля в каждой точке Р0 ортогонален поверхности уровня,
проходящей через эту точку, т.е. поверхности {P ∈ V | u ( P) = u ( P0 )}.




      1.2. Частные случаи скалярных полей.
      Скалярное поле называется плоским, если существует такая плос-
кость П, что поле принимает одинаковые значения во всех точках прямой,
перпендикулярной плоскости П. Другими словами, это поле устроено

                                                   5