Аналитическая геометрия. Локтионова Г.Н - 20 стр.

    4 Методические указания к выполнению контрольной
работы

             Для выполнения и защиты контрольной работы необходимо
      владение следующими основными теоретическими вопросами курса
                        «Аналитическая геометрия»:
1    Определения и свойства скалярного, векторного и смешанного произведения
     векторов.
2    Определение линейного векторного пространства.
3    Признаки линейной зависимости системы векторов.
4    Основные понятие вектора. Линейные операции над векторами.
5    Система координат на плоскости.
6    Линии на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости и в
     пространстве.
7    Линии второго порядка на плоскости.
8    Уравнения поверхности и линии в пространстве. Плоскость в пространстве.
9    Взаимное расположение прямых и плоскостей.

                                            Задача 1
       Постановка задачи. Найти разложение вектора x = {x1 , x2 , x3} по
векторам p = { p1 , p2 , p3} , q = {q1 , q2 , q3} и r = {r1 , r2 , r3}.
       План решения.
       1. Искомое разложение вектора x имеет вид x = αp + β q + γr .
       2. Это векторное уравнение относительно α , β , γ эквивалентно системе
трех линейных уравнений с тремя неизвестными

                          p1α + q1β + r1γ = x1 ,
                         
                          p2α + q2 β + r2γ = x2 ,
                         p α + q β + r γ = x .
                          3      3      3     3


        3. Решаем полученную систему уравнений относительно α , β , γ и таким
образом определяем коэффициенты разложения вектора x по векторам p, q , r .
        Записываем ответ в виде x = αp + β q + γr .
        Замечание. Если система уравнений не имеет решений (векторы p, q и
r лежат в одной плоскости, а вектор x ей не принадлежит), то вектор x нельзя
разложить по векторам p, q и r . Если система уравнений имеет бесчисленное
множество решений (векторы p, q , r и вектор x лежат в одной плоскости), то
разложение вектора x по векторам p, q и r неоднозначно.
        Пример. Найти разложение вектора x = {3,−1,2} по векторам p = {2,0,1},
q = {1,−1,1} и r = {1,−1,−2}.
        Решение.

20