Аналитическая геометрия. Локтионова Г.Н - 21 стр.

      1. Искомое разложение вектора x имеет вид

                        x = αp + βq + γr

       2. Это векторное уравнение относительно α , β , γ эквивалентно системе
трех линейных уравнений с тремя неизвестными
                        2α + β + γ = 3,
                        
                        − β − γ = −1,
                        α + β − 2γ = 2.
                        

      3. Система имеет единственное решение α = 1, β = 1, γ = 0.
      Ответ. x = p + q .

                                         Задача 2
       Постановка задачи. Коллинеарны ли векторы p = λ1a + λ2b и
q = µ1a + µ2b , где a = {a1, a2 , a3} и b = {b1, b2 , b3} ?
       План решения. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда
существует число α , такое, что p = αq . Иными словами, векторы коллинеарны
тогда, когда их координаты пропорциональны.
       1. Находим координаты векторов p и q , пользуясь тем, что при
сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при
умножении на число координаты умножаются на это число.
       2. Если координаты векторов p = {р1, р2 , р3} и q = {q1, q2 , q3}
пропорциональны, т.е.

                        p1 p 2 p3
                          =   =   ,
                        q1 q 2 q3

то векторы p и q коллинеарны. Если равенство не выполняется

                        p1 p2 p3 p1 p2 p3 p1 p2 p3
                          ≠  ≠  ,  =  ≠  ,  ≠  =   ,
                        q1 q2 q3 q1 q2 q3 q1 q2 q3

то векторы p и q неколлинеарны.
       Пример. Коллинеарны ли векторы p = 4a − 3b , q = 9b − 12a , где
a = {−1,2,8} и b = {3,7,−1} ?
       Решение.
       1. Находим координаты векторов p и q , пользуясь тем, что при
сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при
умножении на число координаты умножаются на это число:

                                                                           21