Аналитическая геометрия. Локтионова Г.Н - 23 стр.

        2. По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов
имеем

        AB = 2 2 + (−2) 2 + 2 2 = 2 3 , AС = (−4) 2 + 4 2 + (−4) 2 = 4 3 ,


        (AB, AC ) = 2 ⋅ (−4) + (−2) ⋅ 4 + 2 ⋅ (−4) = −24
        3. Вычисляем cos ϕ по указанной формуле:

                                              − 24
                                 cos ϕ =            = −1.
                                            2 3⋅4 3

        Ответ: Косинус угла между векторами AB и AC равен –1.

                                    Задача 4
        Постановка       задачи.   Вычислить      площадь       параллелограмма,
построенного на векторах a = α1 p + α 2 q и b = β1 p + β 2 q , если известно, что
 p = p0 , q = q0 и угол между векторами p, q равен ϕ .
        План решения. Площадь параллелограмма, построенного на векторах a
и b , равна модулю их векторного произведения:

                                 S = [a , b ] .                                                             (2)

        1. Вычисляем [a , b ], используя свойства векторного произведения

        [a , b ] = [α1 p + α 2 q , β1 p + β 2 q ] = α1β1[ p, p ] + α1β 2 [ p, q ] + α 2 β1[q , p ] + α 2 β 2 [q , q ]
        = (α1β 2 − α 2 β1 )[ p, q ].

        2. Вычисляем модуль векторного произведения

        [a , b ]   = α1β 2 − α 2 β1 p q sin ϕ . ( sin ϕ ≥ 0, так как 0 ≤ ϕ ≤ π ).

        3. Находим площадь параллелограмма, используя формулу (2)

                                 S = [a , b ] = α1β 2 − α 2 β1 p q sin ϕ .

      Пример: Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
векторах a = 3 p + 2q и b = 2 p − q , если известно, что p = 4, q = 3 и угол
между векторами p, q равен 3π 4 .


                                                                                                              23