Аналитическая геометрия. Локтионова Г.Н - 25 стр.

                                                      Задача 6
           Постановка задачи. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках
A1 ( x1 , y1 , z1 ), A2 ( x2 , y2 , z2 ), A3 ( x3 , y3 , z3 ), A4 ( x4 , y4 , z 4 ) и его высоту,
опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .
           План решения.
           1.Найдем координаты векторов A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 :

         A1 A2 = {x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1} ,

         A1 A3 = {x3 − x1 , y 3 − y1 , z 2 − z1} ,

         A1 A4 = {x 4 − x1 , y 4 − y1 , z 4 − z1} .

        В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения
имеем

                                            1         1
                                   Vт. =      ⋅ Vпп. = ( A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 ) ,          (3)
                                            6         6

где Vт. ,Vпп. - объемы тетраэдра и параллелепипеда, построенных на векторах
A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 .
         С другой стороны

                                        1
                                   Vт. = S ∆A1 A2 A3 ⋅ h ,                                  (4)
                                        3

где согласно геометрическому смыслу векторного произведения,

                                                        1
                                        S ∆A1 A2 A3 =     [A1 A2 , A1 A3 ] .
                                                        2

        Сравнивая формулы (3) и (4) , получаем

                                            3Vт.           ( A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 )
                                   h=                  =                             .       (5)
                                         S ∆A1 A2 A3            ( A1 A2 , A1 A3 )
        2. Вычисляем смешанное произведение:




                                                                                              25