Аналитическая геометрия. Локтионова Г.Н - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

26
()
141414
131313
121212
413121
,,
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
AAAAAA
−−−
−−−
−
−
−
= ,
и находим объем тетраэдра по формуле (3)
3. Вычисляем координаты векторного произведения и его модуль:
[]
=
−−−
−−−=
131313
1212123121
,
zzyyxx
zzyyxx
kji
AAAA
=
−−
−−
−−
−−
−
−−
−−
1313
1212
1313
1212
1313
1212
,,
yyxx
yyxx
zzxx
zzxx
zzyy
zzyy
.
4. Находим высоту
h по формуле (5)
Пример. Вычислить объем тетраэдра с вершинами ),1,3,2(
1
A
)8,4,5(),7,3,6(),2,1,4(
432
−−− AAA и его высоту, опущенную из вершины
4
A
на грань
.
321
AAA
Решение.
1.Из вершины
1
A проведем векторы
}.7,7,7{},6,0,4{},3,2,2{
413121
−−==−−= AAAAAA
2. Вычисляем смешанное произведение:
()
()( )
308283702422
777
604
322
,,
413121
=−⋅−+⋅+⋅=
−−
−
−
=AAAAAA
и находим объем тетраэдра по формуле (3)
308
6
1
.
⋅=
т
V (ед.длины)
3
3. Вычисляем координаты векторного произведения:
[]
604
322,
3121
−−=
kji
AAAA }8,24,12{82412 −−=+−−= kji
r
и его модуль 
                                                x2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1
                             (                         )
                        A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 = x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 ,
                                                x4 − x1 y 4 − y1 z 4 − z1
и находим объем тетраэдра по формуле (3)
       3. Вычисляем координаты векторного произведения и его модуль:

                               i             j           k
         [A1 A2 , A1 A3 ] = x2 − x1       y2 − y1     z2 − z1 =
                            x3 − x1       y3 − y1     z3 − z1
          y − y1        z 2 − z1 x 2 − x1          z 2 − z1 x 2 − x1   y 2 − y1 
        = 2                     ,−                         ,                    .
          y3 − y1       z 3 − z1 x3 − x1           z 3 − z1 x3 − x1    y3 − y1 

        4. Находим высоту h по формуле (5)
        Пример. Вычислить объем тетраэдра с вершинами A1 (2, 3,1),
A2 (4,1, − 2), A3 (6, 3, 7), A4 (−5, − 4, 8) и его высоту, опущенную из вершины A4
на грань A1 A2 A3 .
        Решение.
        1.Из вершины A1 проведем векторы

                              A1 A2 = {2,−2,−3}, A1 A3 = {4,0,6}, A1 A4 = {−7,−7,7}.

             2. Вычисляем смешанное произведение:

                                             2−2 −3
               (                      )
                   A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 = 4  0  6 = 2 ⋅ 42 + 2 ⋅ 70 + (− 3) ⋅ (− 28) = 308
                                           −7 −7 7

и находим объем тетраэдра по формуле (3)

                                                 1
                                      Vт. =        ⋅ 308 (ед.длины)3
                                                 6

       3. Вычисляем координаты векторного произведения:

                                        i  j   k
                                                       r
                     [A1 A2 , A1 A3 ] = 2 − 2 − 3 = −12i − 24 j + 8k = {−12,−24,8}
                                        4 0    6

       и его модуль

26

Страницы