Аналитическая геометрия. Локтионова Г.Н - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

28
2. Вычисляем расстояние
d от точки
(
)
2,1,1
0
−
M до плоскости по
формуле (6).
Пример. Найти расстояние от точки
(
)
2,1,1
0
−
M до плоскости,
проходящей через точки
()
(
)
(
)
.3,7,2,3,6,3,7,5,1
321
−
−
−
MMM
Решение.
1. Находим координаты векторов:
}9,6,0{},10,2,3{},10,1,4{
013121
−=−=−= MMMMMM
и нормального вектора плоскости:
[]
.51010
1023
1014,
3121
kji
kji
MMMMn −+−=
−
−==
2. Вычисляем расстояние
d от точки
0
M до плоскости по формуле (6):
()
() ()
.7
51010
105
,
2
2
2
01
01
=
−++−
−
===
n
MMn
MMПРd
n
Ответ: 7=d ед. длины.
Задача 8
Постановка задачи. Написать уравнение плоскости, проходящей через
точку
()
0000
,, zyxM перпендикулярно вектору
21
MM , где
1
M и
2
M имеют
координаты
()
111
,, zyx и
(
)
.,,
222
zyx
План решения. Уравнение плоскости, проходящей через точку
()
},,,{,,
0000
CBAnzyxM =⊥ имеет вид
()
(
)
(
)
0
000
=
−
+
−
+
− zzCyyBxxA (7)
1.В качестве нормального вектора плоскости
n выбираем вектор
}.,,{
12121221
zzyyxxMM −−−=
2.Составляем уравнение плоскости (4.7) с нормальным вектором
,
21
MM
проходящей через точку
()
0000
,, zyxM : 
      2. Вычисляем расстояние d от точки M 0 (1, − 1, 2 ) до плоскости по
формуле (6).
      Пример. Найти расстояние от точки M 0 (1, − 1, 2 ) до плоскости,
проходящей через точки M 1 (1, 5, − 7 ), M 2 (− 3, 6, 3), M 3 (− 2, 7, 3).
                                         Решение.
      1. Находим координаты векторов:

              M 1M 2 = {−4,1,10}, M 1M 3 = {−3,2,10}, M 1M 0 = {0,−6,9}

       и нормального вектора плоскости:

                                         i        j    k
               n = [M 1M 2 , M 1M 3 ] = − 4 1 10 = −10i + 10 j − 5k .
                                         − 3 2 10

       2. Вычисляем расстояние d от точки M 0 до плоскости по формуле (6):


                              (n , M 1M 0 )                    − 105
           d = ПРn M 1M 0 =                   =                               = 7.
                                    n
                                                      (− 10)
                                                           2
                                                               + 10 + (− 5)
                                                                   2      2



       Ответ: d = 7 ед. длины.

                                               Задача 8
          Постановка задачи. Написать уравнение плоскости, проходящей через
точку M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) перпендикулярно вектору M 1M 2 , где M 1 и M 2 имеют
                         (           )
координаты ( x1 , y1 , z1 ) и x2 , y 2 , z 2 .
          План решения. Уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ⊥ n = { A, B, C}, имеет вид

                        A( x − x0 ) + B( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0               (7)

       1.В качестве нормального вектора плоскости n выбираем вектор

                         M 1M 2 = {x 2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1}.

      2.Составляем уравнение плоскости (4.7) с нормальным вектором M 1 M 2 ,
проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) :


28

Страницы