Аналитическая геометрия. Локтионова Г.Н - 30 стр.

                             cos ϕ =
                                       (n1, n2 ) =        1 ⋅1 + 2 ⋅1 − 2 ⋅ 0
                                                                                  =
                                                                                      1
                                                                                         .
                                       n1 ⋅ n2                                         2
                                                     12 + 2 2 + (− 2 )2 12 + 12

                                        (
        Таким образом, ϕ = arccos 1 2 = π 4      )
        Ответ: Угол между плоскостями ϕ = π 4 .


                                              Задача 10
      Постановка задачи. Написать канонические уравнения прямой,
заданной как линия пересечения двух плоскостей, заданных общими
уравнениями:

                               A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
                              
                               A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0.

      План решения.
                                                                           r
      1.   Проверяем,     что    векторы             n1 = { A1 , B1 , C1}, n2 = { A2 , B2 , C2 }
неколлинеарны, следовательно, плоскости пересекаются по некоторой прямой.
      Канонические уравнения прямой с направляющим вектором a = {l , m, n} ,
проходящей через данную точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , имеют вид

                              x − x0 y − y 0 z − z 0
                                    =       =                                                (8)
                                 l     m       n

               Поэтому, чтобы написать уравнение прямой, необходимо найти ее
       направляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.
        2. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее
направляющий вектор a ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей,
т.е. a ⊥ n1 = { A1 , B1 , C1}, a ⊥ n2 = { A2 , B2 , C2 }.
        Следовательно, направляющий вектор a находим по формуле

                                               i     j     k
                              a = [n1 , n2 ] = A1    B1   C1 .
                                              A2     B2   C2

              3. Теперь выберем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку
       направляющий вектор прямой непараллелен хотя бы одной из
       координатных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную
       плоскость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята
       точка ее пересечения с этой координатной плоскостью.

30