Аналитическая геометрия. Локтионова Г.Н - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

31
4. Подставляем найденные направляющий вектор и точку в
уравнения прямой (4.8) и записываем ответ.
Пример. Написать канонические уравнения прямой, заданной как линия
пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)
=+−−
=
−
+
+
.0122
,0832
zyx
zyx
Решение.
1. Проверим, что векторы
}2,2,1{},1,3,2{
21
−
−
=
=
nn неколлинеарны (см.
задачу 2). Имеем
.
2
3
1
2
−
≠
Векторы }2,2,1{},1,3,2{
21
−
−
=
=
nn не коллинеарны, так как их
координаты непропорциональны. Следовательно, две плоскости пересекаются
по прямой.
2. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее
направляющий вектор
a ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей,
т.е.
}1,3,2{
1
=⊥ na и }2,2,1{
2
−
−
=⊥ na
Следовательно, направляющий вектор
a находим по формуле
[]
.754
221
132,
21
kji
kji
nna −+−=
−−
==
3. Теперь находим какую-нибудь точку на прямой. Поскольку
направляющий вектор прямой непараллелен ни одной из координатных
плоскостей, то прямая пересекает все три координатные плоскости.
Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее
пересечения, например, с плоскостью 0
=
y. Координаты этой точки находим,
решая систему трех уравнений
=
=+−
=
−
+
.0
,012
,082
y
zx
zx
Получим
(
)
.2,0,3,2,0,3
0000
Mzyx
=
=
=
4. Подставляя найденные направляющий вектор и точку в
уравнения прямой (4.8) , получим. 
            4. Подставляем найденные направляющий вектор и точку в
      уравнения прямой (4.8) и записываем ответ.
       Пример. Написать канонические уравнения прямой, заданной как линия
пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)

                         2 x + 3 y + z − 8 = 0,
                         
                          x − 2 y − 2 z + 1 = 0.

       Решение.
       1. Проверим, что векторы n1 = {2,3,1}, n2 = {1,−2,−2} неколлинеарны (см.
задачу 2). Имеем

                          2   3
                            ≠   .
                          1 −2

        Векторы n1 = {2,3,1}, n2 = {1,−2,−2} не коллинеарны, так как их
координаты непропорциональны. Следовательно, две плоскости пересекаются
по прямой.
        2. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее
направляющий вектор a ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей,
т.е. a ⊥ n1 = {2,3,1} и a ⊥ n2 = {1,−2,−2}
        Следовательно, направляющий вектор a находим по формуле

                                    i     j    k
                    a = [n1 , n2 ] = 2   3      1 = −4i + 5 j − 7 k .
                                    1 −2 −2

       3. Теперь находим какую-нибудь точку на прямой. Поскольку
направляющий вектор прямой непараллелен ни одной из координатных
плоскостей, то прямая пересекает все три координатные плоскости.
Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее
пересечения, например, с плоскостью y = 0 . Координаты этой точки находим,
решая систему трех уравнений

                                         2 x + z − 8 = 0,
                                         
                                          x − 2 z + 1 = 0,
                                              y = 0.
                                         

       Получим x0 = 3, y0 = 0, z0 = 2, M 0 (3,0,2).
            4. Подставляя найденные направляющий вектор и точку в
      уравнения прямой (4.8) , получим.

                                                                             31

Страницы