Аналитическая геометрия. Локтионова Г.Н - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

33
3. Подставляя эти выражения для zy
x
,, в уравнение плоскости и решая
его относительно
t
, находим значение параметра ,
0
tt
=
при котором
происходит пересечение прямой и плоскости.
4. Найденное значение
0
t подставляем в параметрические уравнения
прямой и получаем искомые координаты точки пересечения:
+=
+=
+
=
.
,
,
100
100
100
zntz
ymty
xltx
Записываем ответ в таком виде: прямая и плоскость пересекаются в
точке
()
.,,
000
zyx
Пример. Найти точку пересечения прямой
10
1
2
1
−
=
+
=
−
zyx
и плоскости
0832
=
−
+
−
zy
x
Решение.
1.
Имеем
()
.031)1()3(022,
≠
=
⋅
−
+
−
⋅
+
⋅
=na
Следовательно, направляющий вектор прямой и нормальный
вектор плоскости не ортогональны, т.е. прямая и плоскость пересекаются
в единственной точке.
2.
Положим
.
10
1
2
1
t
zyx
=
−
=
+
=
−
Тогда параметрические уравнения имеют вид
−=
−=
+
=
.
,1
,12
tz
y
tx
      3. Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение плоскости и решая
его относительно t , находим значение параметра t = t 0 , при котором
происходит пересечение прямой и плоскости.
      4. Найденное значение t 0 подставляем в параметрические уравнения
прямой и получаем искомые координаты точки пересечения:

                                   x0 = lt 0 + x1 ,
                                  
                                   y0 = mt0 + y1 ,
                                   z = nt + z .
                                   0       0    1


       Записываем ответ в таком виде: прямая и плоскость пересекаются в
точке ( x 0 , y 0 , z 0 ).
       Пример. Найти точку пересечения прямой

                                 x −1 y +1 z
                                     =    =
                                   2    0   −1

      и плоскости

                                2x − 3y + z − 8 = 0


      Решение.
      1. Имеем

                     (a , n ) = 2 ⋅ 2 + 0 ⋅ (−3) + (−1) ⋅1 = 3 ≠ 0.
            Следовательно, направляющий вектор прямой и нормальный
     вектор плоскости не ортогональны, т.е. прямая и плоскость пересекаются
     в единственной точке.
      2. Положим

                              x −1 y +1 z
                                  =    =    = t.
                                2    0   −1

Тогда параметрические уравнения имеют вид

                                      x = 2t + 1,
                                     
                                      y = −1,
                                      z = −t .
                                     


                                                                         33

Страницы