Аналитическая геометрия. Локтионова Г.Н - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

35
3. Подставляя zy
x
,, в уравнение плоскости и решая его относительно
t
,
находим значение параметра
0
tt
=
, при котором происходит пересечение
прямой и плоскости.
4. Найденное значение
0
t подставляем в параметрические уравнения
прямой и получаем искомые координаты точки .P
′
Замечание. Аналогично решается задача о нахождении координат
проекции точки на прямую.
Пример. Найти координаты проекции
P
′
точки
(
)
1,2,1 −P на плоскость
.02723 =−+− zy
x
Решение.
1. Составляем уравнение прямой, проходящей через точку
P
перпендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляющего
вектора прямой берем нормальный вектор плоскости:
}.2,1,3{ −=
=
na Тогда
канонические уравнения имеют вид
2
1
1
2
3
1
+
=
−
−
=
−
zyx
.
2. Найдем координаты точки
P
′
пересечения этой прямой с заданной
плоскостью. Положим
t
zyx
=
+
=
−
−
=
−
2
1
1
2
3
1
.
Тогда параметрические уравнения имеют вид
−=
+−=
+
=
.12
,2
,13
tz
ty
tx
3. Подставляя эти выражения для zy
x
,, в уравнение плоскости, находим
значение параметра
t
, при котором происходит пересечение прямой и
плоскости:
()( )
(
)
.202712221133
0
=
⇒
=
−
−
+
+
−−+ tttt
4. Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение
,2
0
=t получаем .1,0,7
000
=
=
=
zyx
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости есть проекция
точки
P
на плоскость, которая имеет координаты )1,0,7(.
Ответ: Проекция
P
′
имеет координаты )1,0,7(. 
        3. Подставляя x, y, z в уравнение плоскости и решая его относительно t ,
находим значение параметра t = t 0 , при котором происходит пересечение
прямой и плоскости.
        4. Найденное значение t 0 подставляем в параметрические уравнения
прямой и получаем искомые координаты точки P′.
        Замечание. Аналогично решается задача о нахождении координат
проекции точки на прямую.
        Пример. Найти координаты проекции P ′ точки P(1,2,−1) на плоскость
3 x − y + 2 z − 27 = 0.
        Решение.
        1. Составляем уравнение прямой, проходящей через точку P
перпендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляющего
вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: a = n = {3,−1,2}. Тогда
канонические уравнения имеют вид

                                x −1 y − 2 z +1
                                    =     =     .
                                  3   −1     2

      2. Найдем координаты точки P ′ пересечения этой прямой с заданной
плоскостью. Положим

                              x −1 y − 2 z +1
                                  =     =     =t.
                                3   −1     2

Тогда параметрические уравнения имеют вид

                                      x = 3t + 1,
                                     
                                      y = −t + 2,
                                      z = 2t − 1.
                                     

      3. Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение плоскости, находим
значение параметра t , при котором происходит пересечение прямой и
плоскости:

                 3(3t + 1) − 1(− t + 2) + 2(2t − 1) − 27 = 0 ⇒ t 0 = 2.

         4. Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение
t 0 = 2, получаем x0 = 7, y 0 = 0, z 0 = 1.
         Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости есть проекция
точки P на плоскость, которая имеет координаты (7,0,1) .
         Ответ: Проекция P ′ имеет координаты (7,0,1) .


                                                                              35

Страницы