Аналитическая геометрия. Локтионова Г.Н - 36 стр.

                                     Задача 13
         Постановка задачи. Найти координаты точки Q , симметричной точке
     (       )
P x p , y p , z p относительно прямой

                                         x − x0 y − y 0 z − z 0
                                               =       =        .
                                            l     m       n

      План решения. Искомая точка Q лежит на прямой, перпендикулярной
данной и пересекающей ее в точке P ′ . Поскольку точка P ′ делит отрезок PQ
                               (               )
пополам, координаты xq , y q , z q точки Q определяются из условий

                              x p + xq               y p + yq              z p + zq
                     x p′ =              , y p′ =               , y z′ =              (9)
                                   2                    2                     2

         (       )                                          (                 )
где x p , y p , z p - координаты точки P и x p′ , y p′ , z p′ - координаты ее проекции
P ′ на данную прямую.
         1. Найдем проекцию точки P на данную прямую, т.е. точку
P ′ (см.задачу 12). Для этого:
         а) Составим уравнение плоскости, проходящей через точку P
перпендикулярной данной прямой. В качестве нормального вектора n этой
плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой, т.е.
n = a = {l , m, n}. Получаем

                                   (       )        (       ) (
                               l x − xp + m y − yp + n z − zp = 0;            )
      б) Найдем координаты точки пересечения P ′ этой плоскости с заданной
прямой. Для этого запишем уравнения прямой в параметрической форме:

                                                    x = lt − x0 ,
                                                   
                                                    y = mt + y0 ,
                                                    z = nt + z .
                                                              0


      Подставляя x, y, z в уравнение плоскости и решая его относительно t ,
находим значение параметра t = t 0 , при котором происходит пересечение
прямой и плоскости;
      в) Найденное значение t 0 подставляем в параметрические уравнения
прямой и получаем искомые координаты точки P′.
      2. Координаты точки Q, симметричной точке P относительно данной
прямой, определяем из условий (9). Получаем


36